高中数学数列通项公式求法的进一步思考递归数列通项公式的求法素材教案新人教版必修5

数列通项公式求法的进一步思考递归数列通项公式的求法摘要：数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,每年都有一个大题, 既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,而且数列问题背景新颖,综合性强,能力要求高,思维力度大,内在联系密切,思维方法灵活,致使很多考生在数列题当中失分较多,特别是已知条件以递推形式给出的数列——递归数列,求其通项公式就显得更加困难. 本文对几类常见的递归数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.关键字：递归数列 递推公式 通项公式 求法一、定义：对任意的自然数 n,有递推关系 ),...,,(;,...,,212211nknknknrraaafacacaca 确定的数列,其中rccc,...,,21为初始值，r 为递归数列的阶数。二、通项公式的求法类型 1.若数列.)(),(},{1为可求的和：通项公式满足递推公式nfnfaaannn1112211)1(...)2()1(...afnfnfaaaaaaaannnnn例 1.（07 年北京考卷 15 题）数列的成公比不为且为常数，中，1,,,...),3,2,1(,2}{32111aaanccnaaaannn等比数列.(1)求 c 的值 （2）求}{na的通项公式.分析：有条件（1）易知2,211anaann则22...)2(2)1(2...112211nnaaaaaaaannnnn=22 nn点 评 ： 一 般 地 ， 对 于 型 如)(1nfaann类 的 通 项 公 式 ， 只 要)()2()1(nfff能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法。类型 2. 若数列.)(),(},{1为可求的积：通项公式满足递推公式nfnfaaannnna =1nnaa21nnaa…23aa·112)1()...2()1(afnfnfaa例 2：在数列｛ na ｝中，1a =1, (n+1)·1na=n· na ，求 na 的表达式。1分析：由(n+1)·1na=n· na 得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221 所以nan1点评：一般地，对于型如1na= f (n)· na 类的通项公式，当)()2()1(nfff的值可以求得时，宜采用此方法；称之为叠乘法.类型 3. 若数列.,,},{1为常数：通项公式满足递推公式qpqpaaannnp=1 为等差，q=0 时为等比.当式：时，有以下两种构造形0,1 qp构造 1：1111nnnnnnpqpapap可得：由等式的两边除以，转化类型 1，可求其通式构造 2：设存在1),(,1pqapann...