正、余弦定理应用举例高考连线 本部分内容主要考查同学们对基础知识的掌握程度和灵活应用能力．考查主要以应用正弦定理、余弦定理解决实际问题、求值、证明三角恒等式等为主，兼顾三角恒等变换能力、运算能力及转化的数学思想．高考金题精析例 1（2006 上海高考）如图 1，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10 海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到1°）？解：如图 1 所示，在中，，，．由余弦定理知，∴．由正弦定理得，∴．∴．∴乙船应沿北偏东的方向沿直线前往处救援．评析：在解决与三角形有关的实际应用问题时，应深刻理解一些有关名词、术语的含义，如方位角、仰角、俯角等，并能准确的与题目中相关知识结合，进行准确的定位．例 2（2005 年全国卷Ⅱ）中，内角的对边分别为，已知，．（1）求的值；（2）设，求的值．解：（1）由，得．由及正弦定理得．故；用心 爱心 专心1（2）由，得．把代入上式，得，即．由余弦定理，得，∴，∴．评析：本题是正、余弦定理与平面向量等知识的交汇题，是高考命题的热点题型．例 3 （2006 江西高考题）如图 2，已知是边长为 1 的正三角形，分别是边上的点，线段经过的中心．设．（1）试将的面积（分别记为与）表示为的函数；（2）求的最大值和最小值．解：（1）因为为边长为 1 的正三角形的中心，所以，．由正弦定理，得，则．又，得，则；（2）．因为，所以当或时， 的最大值为 240；当时，y 取得最小用心 爱心 专心2值 216．评析：可以将平面几何的计算问题化归到三角形中，利用正弦定理、余弦定理以及面积公式等基本知识转化为方程或函数问题来处理．问题求解 建模帮忙 数学建模思想：就是从实际问题出发，经过抽象概括，把实际问题转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，最后还原成实际问题的解．那么在解题中建模思想是如何表现的呢？下面结合例题给大家具体的讲解一下，以帮助同学们更好的体会．例 1 现从雷达发现一艘船装有走私物品，海关缉私队立即由 A 港口乘快艇出发追击此船，若快艇在处时，观测到该船在北偏西 15°的处，间的距离为 100 海里，且走私船以每小时 40 海里的速度沿东北方向行驶，快艇的速度可达每小时 60 海里，问快艇沿什么方向追击，才能尽快追上走私船？用去多少时间...
