一类递推数列问题的解决与延伸湖南省南县一中 陈敬波(413200)已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0 是常数),求数列{an}的通项公式 an,是高中常见的递推数列问题.这 类 数 列 通 常 可 转 化 为， 或 消 去 常 数 转 化 为 二 阶 递 推 式，或归纳猜想证明.例１.已知数列中，,求的通项公式．解析:解法一．（待定系数法）转化为型递推数列．∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二．（差分法形成差数列）转化为型递推数列．∵=2an+1(n≥1) ① ∴=2an+1+1 ②②－①，得(n≥1)，故｛｝是首项为 a2-a1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法． 解法四.归纳猜想证明法．,猜想：.用数学归纳法证明(证明略).这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并解决.类型一: 这类数列可变换成，令，则转化为型.例 2.设数列求数列的通项公式．解析:∵，两边同除以，得．令，则有用心 爱心 专心．于是，得，∴数列是以首项为，公比 为的 等 比 数 列 ， 故， 即， 从 而．类型二: 若取倒数,得，令，从而转化为型.例 3.(08 陕西文 22) 已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；(Ⅱ)略解：（Ⅰ） ， ， ，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列．类型三: 这类数列可取对数得，从而转化为数列.例 4. 已知数列中满足，求数列的通项.解: ， 是以为首项,5 为公比的等比数列.用心 爱心 专心类型四:可转化为例５.设数列求数列的通项公式．分析: 设法把分给.转化为解:由可得设故即用累加法得 方法 2:设,则与条件比较:.由此是方程的两个根或用心 爱心 专心由上迭代得: 解决这类问题,可使用下面的定理定理:在数列中， ，为初始值．它的特征方程的两根为，则（１）当时，；（２）当时．（证明略）解法 3: 递推关系对应的特征方程为:则由得:用心 爱心 专心
