球问题的求解策略 球是我们最常见的空间几何体，但球的问题却是同学们在学习中感到最为困惑的一类问题．这类问题一般不易画出其立体图形，求解比较困难．解决这类问题要求我们有较强的空间想象能力和问题转化能力，因此，更需要我们对球有深刻的理解．下面为同学们介绍一下球问题的三种求解策略． 一、突出球心 球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和球心以及球心和切点的连线来构造多面体，使球的问题转化为多面体的问题加以解决． 例１ 已知空间四个球的半径分别为 2，2，3，3，且每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求小球的半径． 解析：要画出五个球的实际空间图形比较困难，我们可以通过五个球的球心位置，以及利用球心连线构成的多面体及其性质，来确定小球的半径． 如图 1 所示，以四个球的球心为顶点作四面体，，，．设，的中点分别为点，，小球的球心为点（显然未知半径的小球的球心应在四面体的内部）．由图形的对称性可知，点在上． 设小球半径为，现利用来建立关于的方程，并最终求出． 事实上，，，， 所以， 即， ① 将①式变形（分子有理化），得 ② ①＋②，整理得， 解得或（舍去）． 二、巧作截面 空间几何体的主要元素往往集中在某一特征截面上，这个特征截面是体现立体图形性质的重要中介．从特征截面入手加以剖析，可实现转化．有关球问题的特征截面常常通过球用心 爱心 专心1心． 例 2 在球内有一内接正方体，正方体内有一内切球，球在正方体内且与球以及相交于一个顶点的三个面都相切，若球、球、球的体积分别为、、，求∶∶． 解析：由于体积比取决于它们的半径的比，设球、球、球的半径分别为． 作出轴截面图，从正方体的对角面得出的平面图形如图 2 所示，则知球与球同心，球的球心在正方体的对角线上． 设正方体的棱长为 2，则，对角线，即，∴，． ，∴，即，∴． ∴．例 3 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥）的体积之比．分析：画出它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图 3，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆．用心 爱心 专心2设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；，，∴，， ， ∴． 三、构造模型 通过构造几何模型解决有关球和多面体的组合问题是一种常见的转化策...
