高中数学素材：探究用二分法求方程的近似解的过程

探究用二分法求方程的近似解的过程山东省利津县第一中学 胡彬 257400零点概念：对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 方程f(x)=0 有实数根函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点.如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)<0,那么，函数 y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在 c(a,b),使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0的根. 一.为何要用二分法求方程的近似解 高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于 4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于 3 次和 4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题. 二.体会生活实例高沙至洞口的一条电话线路发生故障，请问如何去迅速查出故障之所在？解：如果沿着线路一小段一小段去查找，困难很多；每查一次要爬一次电杆，10KM 长的线路，大约有 200 多根电杆。维修人员这样工作最合理：①、先从中间位置板桥查起：若用随身所带的话机向两端测试，发现高沙到板桥段正常，则可确定板桥到洞口段有故障；②、再从中间位置花古处查，若板桥到花古段正常，则可确定故障出花古到洞口段。——————每查一次，则可将线路缩短一半，当把故障可能发生的范围缩小到 50m～100m 左右时，即只有一至两根电线杆时，则只要查几次就够了。————这种检查线路故障的方法，不仅可用于查找线路、水管、气管等故障，还能用于实验设计、资料查询等，同时也是我们所学的求方程的近似解的二分法方法。 三. 探究二分法的思想及步骤：1.出示例：有 12 个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？2.定义二分法...