高中数学素材——等差数列中的三类难点问题解析

等差数列中的三类难点问题解析山东省利津县第一中学 胡彬 257400一.等差数列确定特殊项的序号及和序号的问题例 1.已知{an}为等差数列，公差 d≠0，{an}中的部分项所组成的数列，，，…，，…恰为等比数列，其中 k1＝1，k2＝5，k3＝17.(1)求 kn；(2)求证：k1＋k2＋k3＋…＋kn＝3n－n－1.分析：(1)易知是等比数列中的第 n 项，于是有＝a1；另一方面，是等差数列中的第 kn项，又有＝a1＋(kn－1)d。从而得 a1qn－1＝a1＋(kn－1)d。在上式中除了 kn为所求外，a1、d 和 q 均为待定系数。虽然 a1、d 和 q 不必都求出来，但从式子的结构看，需求出 a1与 d 的关系和 q 的值。从何入手呢？注意到 k1＝1，k2＝5，k3＝17，我们可以利用等比数列的子数列，，，即a1，a5，a17也成等比数列，据此可以求出 d 与 a1的关系和 q 的值。(2)要证明 k1＋k2＋k3＋…＋kn＝3n－n－1，实质上是求数列{kn}的前 n 项的和，而这可以由通项kn来确定。解：(1)由题设知，，即 a1，a5，a17成等比数列，所以 a52＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)。因 d≠0，所以 a1＝2d，于是公比 q＝＝3，所以＝qn－1＝a13n－1又＝a1＋(kn－1)d＝a1＋(kn－1) ，所以 a1＋(kn－1) ＝ a13n－1因而 kn＝23n－1－1(2)k1＋k2＋k3＋…＋kn＝(230－1)＋(23－1)＋…＋(23n－1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n＝3n－n－1说明：在求得 d＝和公比 q＝3 后，还有如下更为简捷的解法：因为.所以{kn＋1}是首项为 k1＋1＝2，公比为 3 的等比数列，于是 kn＋1＝ 23n－1，即kn＝23n－1－1。二.等差数列求各项绝对值的和例 2．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比 q≠1，数列{bn}满足 b1＝20，b7＝5，且(bn＋1－bn＋2)logma1＋(bn＋2－bn)logma3＋(bn－bn＋1)logma5＝0。(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设 Sn＝|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|，求 Sn。分析：(1)要求通项 bn，关键在于确定数列{bn}的性质。题设给出了数列{bn}所满足的关系式，看用心 爱心 专心上去很复杂，但若注意到等式左边各项“系数”之和(bn＋1－bn＋2)＋(bn＋2－bn)＋(bn－bn＋1)＝0，问题便容易解决。(2)当数列{bn}的性质确定以后，便容易求得 Sn，但要注意 bn的正负。解：(1)将 logma3＝logm(a1q2)＝logma1＋2logmq 与 logma5＝logm(a1q4)＝logma1＋4logmq 代入已知等式，整理得 2(bn－2bn＋1＋bn＋2)logmq＝0因为 q≠1，所以 logmq≠1,于是有 bn－2b...