高中数学：《求曲线的轨迹方程专题2》学案（旧人教版）

高二数学导学学案求曲线的轨迹方程（二）（三）代入法（或叫相关点法） 有些问题是当一个点在某种曲线上运动时，另一个点也随之运动。解这类问题的一般方法和步骤是（1）设要求轨迹的那个动点的坐标为(x,y)，已知动点的坐标为(m,n),根据题意找到(x,y)与(m,n)的关系，（2）用(x,y)表示出(m,n)，代入已知动点的轨迹方程中。例 10. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。 解：设动点 M 的坐标为（x，y），而设 B 点坐标为（x0，y0） 则由 M 为线段 AB 中点，可得 即点 B 坐标可表为（2x－2a，2y） 例 11.△ABC 中，B（－3，8）、C（－1，－6），另一个顶点 A 在抛物线 y2=4x 上移动，求此三角形重心 G 的轨迹方程.解：设点 G 的坐标为,点 A 的坐标为,由三角形重心公式有： 即：例 12.自抛物线 y2＝2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q，连结顶点 O 与P 的直线和连结焦点 F 与 Q 的直线交于 R 点，求 R 点的轨迹方程.解：设 P（m，n）、R（x，y），则 Q（－，n）、F（，0），∴OP 的方程为 y=x， ①FQ 的方程为 y=－n（x－） ②由①②得 m＝，n＝，代入 n2＝2m，可得 y2＝－2x2+x.例 13．线段 AB 的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且，求 AB的中点 P 的轨迹方程。解：分别以这两条直线为坐标轴建立直角坐标系，设点 A（m,0）,B（0,n）中点 P（x,y），则 从而有：思考：若点 P 满足又该如何解决？轨迹是什么图形？例 14. 已知定点 A（2，0），点 Q 是圆 x2＋y2＝1 的动点，∠AOQ 的平分线交 AQ 于M，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程。 分析 1： 若设出 M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点 Q 的坐标，因 Q、M 为相关点，（Q 点运动导致点 M 运动），可采用相关点法求点 M 的轨迹方程。 解法 1：设 M（x，y）， ∵M 在 AQ 上， ， 分析 2： 而当∠AOQ＝180°时，其角分线为 y 轴，它与 AQ 交点为原点 O，显然，该点也满足上述轨迹方程。 注：此种解法为定义法。