高中数学：第四章《抽象函数问题的“原型”》素材（北师大版必修1）

抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1、——(为常数）2、——=（＞0 且≠1）3、—— (＞0 且≠1)4、——(为常数）5、或－－=(为常数） 6、－－=二、“原型”解法例析【例1】 设函数满足，且()=0， 、 ∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由想：=2coscos原型：=，为周期函数且 2π 为它的一个周期。猜测：为周期函数，2π 为它的一个周期令=+，= 则=0∴∴为周期函数且 2π 是它的一个周期。【例2】 已知函数满足，若，试求(2005)。分析与略解：由想：(+)=用心 爱心 专心原型：=为周期函数且周期为 4×=π。猜测：为周期函数且周期为 4×1=4 ==-∴(+4)=∴是以 4 为周期的周期函数又 f(2)=2004∴===-∴f(2005)=- 【例3】 已知函数对于任意实数、 都有，且当＞0 时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。分析与略解：由：想：(+)=+原型：＝（为常数）为奇函数。＜0 时为减函数，＞0 时为增函数。猜测：为奇函数且为 R 上的单调增函数，且在[－2,1]上有∈[－4,2]设<且，∈R 则－>0 ∴(－)>0∴==＞0∴,∴为 R 上的单调增函数。令==0,则(0)=0,令=－，则(－)=－∴为 R 上的奇函数。∴(-1)=- (1)=-2 ∴(1)=2，(-...