高中数学：数列中由递推关系求数列的通项题型归类 素材

数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算----猜想----证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。1 类型一： daann1（其中 d 是常数）显然，由daann1知｛na ｝是等差数列，则dnaan)1(12 类型二：qaann1（其中 q 是不为 0 的常数）显然，则qaann1知｛na ｝是等比数列，于是11nnqaa3 类型三：)(1nfaann，方法：叠加法例 1、在数列｛na ｝中，11 a，且nnnaa21，求na .解：由nnnaa21得， 1122 aa 2232 aa ………… 112  nnnaa由上面等式叠加得，22212222......2211211nnnnaa故12 nna。 4 类型四：nnanfa)(1，方法：叠乘法 例 2、在数列｛na ｝中，21 a，且nnanna)2(1，求na . 解：由已知得，nnaann21，则有1312 aa，2423 aa，3534 aa，……221nnaann，111nnaann，这（1n）个等式叠乘得，21)1(1nnaan，则用心 爱心 专心)1( nnan。 5 类型五：qpaann1（其中 p，q 是常数，且0p）方法：参数法 例 3、已知数列｛na ｝满足)2(231naann，且41 a，求na . 解：引入参数 c，令)(31cacann，即caann231 ，与已知231 nnaa比较知 c=1，于是有3111nnaa，即数列｛na －1｝是以311a为首项，3 为公比的等比数列，则1331nna，故13 nna 6 类型六：)(1nfpaann （1）若)(nfbkn （其中 k,b 是常数，且0k）方法：升降足标法 例 4、在数列｛na ｝中，11 a，且满足naann231，求na . 解： naann231①，∴)1(231naann，两式相减得，2)(311nnnnaaaa，令nnnaab1，则231 nnbb，利用类型五的方法知，1351 nnb，即13511nnnaa②，再利用类型三的方法知，213251nann；亦可联立①、②解出213251nann。 （2）若)(nfnr（其中 r 是常数，且1,0r） 方法：两边同乘11nr 例 5、在数列｛na ｝中，11 a，且满足nnnaa361，求na . 解：将已知nnnaa361...