极化恒等式与等和线【知识拓展】1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.(2)在平行四边形 PMQN 中，O 是对角线交点，则：①PM·PN＝(|PQ|2－|NM|2)(平行四边形模式)；②PM·PN＝|PO|2－|NM|2(三角形模式).2.平面向量共线定理已知平面内一组基向量OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若 λ＋μ＝1，则 A，B，P 三点共线；反之亦然.3.平面向量等和线定理平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点 P在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，且 k＝＝＝，则 λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线 AB 时，k＝1，(2)当等和线在 O 点和直线 AB 之间时，k∈(0，1)；(3)当直线 AB 在 O 点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过 O 点时，k＝0.【类型突破】类型一 利用极化恒等式求向量的数量积例 1 (1)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点.BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________.(2)如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D 为 AC 的中点，在平面ABC 中，将线段 AC 绕点 D 旋转得到线段 EF.设 M 为线段 AB 上的点，则ME·MF的最小值为________.答案 (1) (2)－4解析 (1)设 BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则 AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有AB·AC＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4，FB·FC＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1，联立解得 n2＝，m2＝.因此EB·EC＝ED2－DB2＝4n2－m2＝.即BE·CE＝.(2)连接 MD，根据向量的极化恒等式，有ME·MF＝|MD|2－|EF|2＝MD2－8，由于△ABC 为等腰直角三角形，M 为线段 AB 上的点，所以 BC＝AC·sin ＝4，因此 MD≥BC＝2，所以ME·MF≥4－8＝－4，即ME·MF的最小值为－4.规律方法 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大于第三边，或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).注：对于不共起点或不共终点的向...
