§8.2 猜想与证明中考数学 ( 河北专用 )一、与尺规作图有关的证明(2016 江苏盐城 ,23,10 分 ) 如图 , 已知△ ABC 中 ,∠ABC=90°.(1) 尺规作图 : 按下列要求完成作图 ( 保留作图痕迹 , 请标明字母 ).① 作线段 AC 的垂直平分线 l, 交 AC 于点 O;② 连接 BO 并延长 , 在 BO 的延长线上截取 OD, 使得 OD=OB;③ 连接 DA 、 DC.(2) 判断四边形 ABCD 的形状 , 并说明理由 . 好题精练解析 (1) 如图所示 . (2) 四边形 ABCD 是矩形 .理由 :Rt △ABC 中 ,∠ABC=90°,BO 是 AC 边上的中线 ,∴BO= AC,AO=CO,又 BO=DO,∴AO=CO=BO=DO,∴ 四边形 ABCD 是矩形 .12二、与图形平移、轴对称有关的证明(2015 山东东营 ,24,10 分 ) 如图 , 两个全等的△ ABC 和△ DEF 重叠在一起 , 固定△ ABC, 将△ DEF 进行如下变换 :(1) 如图 1,△DEF 沿直线 CB 向右平移 ( 即点 F 在线段 CB 上移动 ), 连接 AF 、 AD 、 BD, 请直接写出 S△ABC 与 S 四边形 AFBD 的关系 ;(2) 如图 2, 当点 F 平移到线段 BC 的中点时 , 若四边形 AFBD 为正方形 , 那么△ ABC 应满足什么条件 ? 请给出证明 ;(3) 在 (2) 的条件下 , 将△ DEF 沿 DF 折叠 , 点 E 落在 FA 的延长线上的点 G 处 , 连接 CG, 请你在图 3 的位置画出图形 , 并求出 sin∠CGF 的值 . 图 3解析 (1)S△ABC=S 四边形 AFBD.(2)△ABC 为等腰直角三角形 , 即 AB=AC,∠BAC=90°.理由如下 : F 为 BC 的中点 ,∴CF=BF. CF=AD,∴AD=BF.又 AD∥BF,∴ 四边形 AFBD 为平行四边形 . AB=AC,F 为 BC 的中点 ,∴AF⊥BC,∴ 平行四边形 AFBD 为矩形 . ∠BAC=90°,F 为 BC 的中点 ,∴AF= BC=BF,∴ 四边形 AFBD 为正方形 .(3) 正确画出图形如图所示 .12由 (2) 知 ,△ABC 为等腰直角三角形 ,AF⊥BC.设 CF=k,k>0, 则 GF=EF=CB=2k.由勾股定理 , 得 CG= k.∴sin∠CGF= = = .5CFCG5kk55三、与图形旋转有关的证明(2016 山东日照 ,18,9 分 ) 如图 , 在正方形 ABCD 中 ,E 、 F 是对角线 BD 上两点 , 且∠ EAF=45°, 将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° 后 , 得到△ ABQ, 连接 EQ, 求证 :(1)EA 是∠ QED 的平分线 ;(2)EF2=BE2+DF2. 证明 (1) 将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° ...
