§ 8.5 圆的综合问题中考数学 ( 河北专用 )一、与圆相关的翻折问题好题精练1.(2017 邯郸一模 ,25) 如图 1, 已知以 AE 为直径的半圆圆心为 O, 半径为 5, 矩形 ABCD 的顶点 B 在直径 AE 上 , 顶点 C 在半圆上 ,AB=8, 点 P 为半圆上一点 .(1) 矩形 ABCD 的边 BC 的长为 ;(2) 将矩形沿直线 AP 折叠 , 使点 B 落在点 B' 处 .① 点 B' 到直线 AE 的最大距离是 ;② 当点 P 与点 C 重合时 , 如图 2 所示 ,AB' 交 DC 于点 M, 求证 : 四边形 AOCM 是菱形 , 并通过证明判断CB' 与半圆的位置关系 ;③ 当 EB'∥BD 时 , 直接写出 EB' 的长 .图 1 图 2解析 (1)4.连接 OC, OB=8-5=3,OC=5,∴BC= =4.(2)8.①( 提示 : 当 AB'⊥AE 时 , 点 B' 到直线 AE 的距离最大 , 最大距离是 8.)② 证明 : 由折叠可知∠ OAC=∠MAC. OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠MAC,∴OC∥AM,又 CM∥OA,∴ 四边形 AOCM 是平行四边形 ,又 OA=OC,∴▱AOCM 是菱形 .结论 :CB' 与半圆相切 .证明 : 由折叠可知∠ AB'C=∠ABC=90°. OC∥AM,∴∠AB'C+∠B'CO=180°,∴∠B'CO=90°,∴CB'⊥OC, OC 为半圆的半径 ,∴CB' 与半圆相切 .2253③4 +2 或 4 -2 . 提示 : 过点 B' 作 B'G⊥AE.若 EB'∥BD, 则有∠ ABD=∠AEB'. tan∠ABD= = = ,tan∴∠AEB'= = .设 B'G=x,EG=2x, 则 AG=10-2x.在 Rt△AB'G 中 ,AB'2=AG2+B'G2,8∴2=(10-2x)2+x2,解得 x=4± ,∴EB'= = x=4 ±2 . 511511ADAB4812'B GEG122 55522'B GEG55112. 如图 ,☉O 的半径为 6,AB 为弦 , 将☉ O 沿弦 AB 所在的直线折叠后 , 上的点 H 与圆心 O 重合 .(1) 求弦 AB 的长度 ;(2) 点 E 是 上的动点 , 过点 E 作 的切线交☉ O 于 C 、 D 两点 .① 当点 E 与点 O 重合时 , 判断 CD 与 AB 的位置关系 , 并说明理由 ;② 当点 C 与点 A 重合时 , 判断 CD 与 AB 的数量关系 , 并说明理由 ;③ 请直接写出线段 CD 的长度的范围 . AB︵AOB︵AOB︵解析 (1) 如图 , 连接 OH, 交 AB 于 M, 连接 BO, ☉O 的半径为 6, 沿 AB 折叠 ,H 和 O 重合 ,∴OM=HM=3,OH⊥AB,由勾股定理得 BM= =3 ,由垂径定理得 AB=2BM=6 .(2)① 当点 E 与点 O 重合时 ,CD∥AB,理由如下 : 如图 1, ...
