§5.3 全等三角形中考数学 ( 河北专用 )1.(2018 河北 ,23,9 分 ) 如图 ,∠A=∠B=50°,P 为 AB 中点 , 点 M 为射线 AC 上 ( 不与点 A 重合 ) 的任意一点 , 连接 MP, 并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N, 设∠ BPN=α.(1) 求证 :△APM≌△BPN;(2) 当 MN=2BN 时 , 求 α 的度数 ;(3) 若△ BPN 的外心在该三角形的内部 , 直接写出 α 的取值范围 . A 组 2014-2018 年河北中考题组五年中考解析 (1) 证明 : P 为 AB 中点 ,∴PA=PB.又 ∠ A=∠B,∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2) 由 (1) 得 PM=PN,∴MN=2PN, MN=2BN,∴PN=BN,∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.详解 : △BPN 的外心在该三角形的内部 ,∴△BPN 是锐角三角形 ,∴∠BPN 和∠ BNP 都为锐角 ,又 ∠ B=50°,∴40°<∠BPN<90°, 即 40°<α<90°.思路分析 (1) 根据 ASA 可证明 :△APM≌△BPN;(2) 根据△ APM≌△BPN 得 MN=2PN, 结合 MN=2BN 得出 PN=BN, 由等边对等角可得结果 ;(3) 只有锐角三角形的外心在三角形的内部 , 根据∠ BPN 和∠ BNP 都为锐角及∠ B=50° 可得 α 的取值范围 .方法归纳 证明三角形全等的一般思路 :1. 如果已知两边 :(1) 找夹角 , 利用 SAS 求解 ;(2) 找直角 , 利用 HL 或 SAS 求解 ;(3) 找另一条边 , 利用SSS 求解 .2. 已知一边和一角 :(1) 边为角的对边 , 则找任一角 , 利用 AAS 求解 ;(2) 边为角的一条边 :① 找角的另一边 , 利用 SAS 求解 ,② 找边的另一角 , 利用 ASA 求解 ,③ 找边的对角 , 利用 AAS 求解 .3. 已知两角 :(1) 找夹边 , 利用 ASA 求解 ;(2) 找两角中任意一角的对边 , 利用 AAS 求解 .2.(2016 河北 ,21,9 分 ) 如图 , 点 B,F,C,E 在直线 l 上 (F,C 之间不能直接测量 ), 点 A,D 在 l 异侧 , 测得 AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1) 求证 :△ABC≌△DEF;(2) 指出图中所有平行的线段 , 并说明理由 . 解析 (1) 证明 : BF=EC,∴BF+FC=EC+CF, 即 BC=EF. (3 分 )又 AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF. (5 分 )(2)AB∥DE,AC∥DF. (7 分 )理由 : △ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF. (9 分 )思路分析 (1) 先证明 BC=EF, 再根据 SSS 进行证明 .(2) 结论 AB∥DE,AC∥DF, 根据全等三角形的性质即可证明 ....
