例谈放缩法证明不等式的基本策略VIP免费

第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共5页例谈“放缩法”证明不等式的基本策略江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军215101近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点,有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=4x1+4x，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+12n+1−12(n∈N¿).证明：由f(n)=4n1+4n=1-第2页共5页第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共5页得f（1）+f（2）+…+f（n）>1−12⋅21+1−12⋅22+⋯+1−12⋅2n=n−14(1+12+14+⋯+12n−1)=n+12n+1−12(n∈N¿).此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：∑＜3．证明：∑=∑＜1＋∑＜１＋∑==1＋∑(－)=1＋1＋－－＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明第3页共5页第2页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共5页本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设an=√1×2+√2×3+√3×4+⋯+√n(n+1)求证：n(n+1)2√n2=n√n(n+1)<√(n+12)2=2n+12∴n<√n(n+1)<2n+12∴1+2+3+⋯+nm−km，第5页共5页第4页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共5页所以Anini>Amimi,m即iAni>niAmi(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cn1m+Cn2m2+…+Cnnmn，(1+n)m=1+Cm1n+Cm2n2+…+Cmmnm，由(1)知miAni＞niAmi(1＜i≤m＜n)，而Cmi=Amii!,Cni=Anii!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)∴m0Cn0=n0Cn0=1，mCn1=nCm1=m·n，m2Cn2＞n2Cm2，…，mmCnm＞nmCmm，mm+1Cnm+1＞0，…，mnCnn＞0，1...