第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2+=0,则=()A.2-B.-+2C.-D.-+2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对4.若||=||=|-|=2,则|+|=.5.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=,y=.6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.其中正确命题的个数为.7.如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.8.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t,使C,D,E三点在同一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组9.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于()A.30°B.45°C.60°D.90°10.如图,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,若=λ+μ(λ、μ∈R),则等于()A.B.C.D.211.(2015北京朝阳期末)点O在△ABC的内部,且满足+2+4=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比是()A.B.3C.D.212.(2015北京丰台二模)已知梯形ABCD中,AD=DC=CB=AB,P是BC边上一点,且=x+y.当P是BC边的中点时,x+y=;当P在BC边上运动时,x+y的最大值是.13.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,,,,;(2)求证:B,E,F三点共线.14.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、.答案精解精析A组基础题组1.A依题意,得=+=+2=+2(-),所以=2-,故选A.2.D∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.3.C由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.4.答案2解析∵||=||=|-|=2,∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|+|=2.5.答案;-解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下:则有=(+),所以=-=(+)-=-,又因为=x+y,所以x=,y=-.6.答案3解析=a,=b,=+=-a-b,故①错;=+=a+b,故②正确;=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;∴++=-b-a+a+b+b-a=0,故④正确.∴正确命题为②③④.7.解析∵=-=a-b,∴===a-b,∴=+=a+b.∵=a+b,∴=+=+==a+b,∴=-=a+b-a-b=a-b.综上,=a+b,=a+b,=a-b.8.解析存在.理由:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有解得t=.故存在实数t=,使C,D,E三点在同一条直线上.B组提升题组9.A由++=0得,+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠BAC=30°.10.D过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知,∠COD=30°,∠OCD=90°,∴OD=2CD,又由题意知=λ,=μ,∴λ||=2μ||,即λ=2μ,故=2.11.A设=,=2,=4,则有++=0,所以O为△A'B'C'的重心,由重心的性质知,S△A'OB'=S△A'OC'=S△B'OC',设为S,由=,=2,知S△AOB=S.同理,S△AOC=S,S△BOC=S.而S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S,所以=·=,故选A.12.答案;解析当P是BC边的中点时,易知=+,所以x+y=+=.当P在BC边上运动时,=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ=(1-λ)+λ=+(1-λ)=x+y,所以即x+=1,所以x+y=1+,又易知y∈[0,1],所以当y=1时,x+y取得最大值,最大值为.13.解析(1)延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,所以=a+b.==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).(2)证明:由(1)可知=,又因为,有公共点B,所以B,E,F三点共线.14.解析∵=-=-a,=-=-b,3+4+5=0,∴3+4(-a)+5(-b)=0,∴=a+b.设=t(t∈R),则=ta+tb.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+,∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②得解得t=.代入①得=a+b.∴=a+b,=a+b.
