高考数学总复习 第七章 不等式、推理与证明 第43讲 直接证明与间接证明练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

第43讲直接证明与间接证明夯实基础【p92】【学习目标】1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点及证明步骤．2．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．【基础检测】1．利用反证法证明：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”时，假设为()A．x，y都不为0B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0D．x，y不都为0【解析】原命题的结论是x，y都为零，反证时，假设为x，y不都为零．【答案】D2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】D3．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【解析】 a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.【答案】D4．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．【解析】 a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋)．∴当a≥0，b≥0，且a≠b时，(－)2(＋)>0.∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0，且a≠b.【答案】a≥0，b≥0，且a≠b5．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________．【解析】由已知，若a≠2正确，则a＝0或a＝1，即a＝0，b＝1，c＝2或a＝0，b＝2，c＝1或a＝1，b＝0，c＝2或a＝1，b＝2，c＝0均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b＝2正确，则a≠2正确，不符合题意；所以，c≠0正确，a＝2，b＝0，c＝1，故100a＋10b＋c＝201.【答案】201【知识要点】1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为__直接证明__．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为__综合法__．推证过程如下：→→→…→(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为__分析法__．推论过程如下：→→→…→得到一个明显成立的条件．P表示条件，Q表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做__反证法__．(2)反证法的特点：先假设原命题__不__成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．典例剖析【p92】考点1综合法的应用设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；(2)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．【解析】(1)由已知，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”．(2)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N*)．下面证{bn}是“H数列”．设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N*)．于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”．同理可证{cn}也是“H数列”．所以对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．【点评】综合法证题的思路考点2分析法的应用当n≥0时，试用分析法证明：－<－.【解析】要证－<－，即证＋<2,只要证(＋)2<(2)2，即证2n＋2＋2<4n＋4，即证