第三章导数及其应用【p33】第15讲导数的概念及运算夯实基础【p33】【学习目标】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【基础检测】1．—个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是()A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【解析】物体的运动方程为s＝1－t＋t2，s′＝－1＋2t，s′|t＝5＝9.【答案】D2．已知函数f(x)＝sinx－x，则f′(0)＝()A．0B．－1C．1D．－2【解析】由函数的解析式可得：f′(x)＝cosx－1，则f′(0)＝cos0－1＝1－1＝0.【答案】A3．已知曲线f(x)＝x2＋2x上一点A(2，8)，则lim＝()A．3B．－3C．6D．－6【解析】由题得f′(x)＝2x＋2,∴f′(2)＝6，lim＝－lim＝－×6＝－3.【答案】B4．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【解析】y＝e－5x＋2的导数y′＝－5e－5x，则在x＝0处的切线斜率为－5e0＝－5，切点为(0，3)，则在x＝0处的切线方程为：y＝－5x＋3，即为5x＋y－3＝0.【答案】5x＋y－3＝05．若函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，则f′(1)＝________．【解析】f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，则f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，所以f(0)＝2，故f(x)＝f′(1)ex－1－2x＋x2，则有f(0)＝f′(1)e－1，解得f′(1)＝2e.【答案】2e【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用____表示，且＝.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：＝.2．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上__点(x0，f(x0))处切线__的斜率k，即k＝__f′(x0)__；切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的__瞬时速度__．4．基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝__0__(C为常数);②(x)′＝__1__；③(x2)′＝__2x__；④′＝__－__；⑤()′＝____．(2)初等函数的导数公式①(xn)′＝__nxn－1__；②(sinx)′＝__cos__x__；③(cosx)′＝__－sin__x__；④(ex)′＝__ex__；⑤(ax)′＝__axln__a__；⑥(lnx)′＝____；⑦(logax)′＝____．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__；(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__；(3)′＝__(g(x)≠0)__．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为__y′x＝y′u·u′x__，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．典例剖析【p34】考点1导数的运算法则及应用求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝.【解析】(1) y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝＝＝.【点评】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．考点2复合函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)5；(2)y＝；(3)y＝sin2；(4)y＝xsincos；(5)y＝x.【解析】(1)设u＝2x＋1，则y＝u5，∴y′＝y′u·u′x＝(u5)′u·(2x＋1)′x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4.(2)设u＝1－3x，则y＝u－4，∴y′...
