高考数学总复习 第三章 导数及其应用 第15讲 导数的概念及运算练习 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

第三章导数及其应用【p37】第15讲导数的概念及运算夯实基础【p37】【学习目标】1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．2．能根据导数定义和基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数【基础检测】1．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)＝()A．2B．0C．1D．－1【解析】由题可知：函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′(1)＝－1，得f′(1)＝1，故选C.【答案】C2．函数f(x)＝lnx过原点的切线的斜率为()A.B．1C．eD．e2【解析】设切点坐标为(a，lna)， y＝lnx，∴y′＝，切线的斜率是，切线的方程为y－lna＝(x－a)，将(0，0)代入可得lna＝1，∴a＝e，∴切线的斜率是＝.故选A.【答案】A3．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________．【解析】y′＝－5ex，又点(0，－2)在曲线上，所以y′|x＝0＝－5，切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即y＋5x＋2＝0.【答案】y＋5x＋2＝04．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则b的值为__________．【解析】由切点可知k＋1＝3，1＋a＋b＝3.对曲线方程求导可得y′＝3x2＋a，可知3＋a＝k，解方程组可得b＝3.【答案】3【知识要点】1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率：lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim____.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__P(x0，y0)__处的__切线的斜率__(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为__y－y0＝f′(x0)(x－x0)__．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式(xn)′＝__nxn－1__，(sinx)′＝__cos____x__，(cosx)′＝__－sin__x__，(ax)′＝__axln__a__，(ex)′＝__ex__，(logax)′＝____，(lnx)′＝.3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__；(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__；(3)′＝(g(x)≠0)．典例剖析【p38】考点1导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝5x2－4x＋1；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(3)y＝(x≠0)；(4)y＝.【解析】(1)y′＝10x－4；(2)y′＝4x·(3x＋1)＋(2x2－1)·3＝18x2＋4x－3；(3)y′＝＝；(4)y′＝′＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx.【小结】函数求导的基本步骤：1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；2．准确地把函数分割为能用求导公式的函数的和、差、积、商；3．再利用运算法则求导数并整理结果．考点2导数的几何意义(1)曲线y＝ex在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为()A．(－1，e－1)B．(0，1)C．(1，e)D．(0，2)【解析】设A(x0，ex0)，y′＝ex，所以切线斜率为ex0＝1，x0＝0，所以A(0，1)．故选B.【答案】B(2)曲线y＝x(3lnx＋1)在第(1，1)处的切线方程为________________．【解析】对曲线求导可得，y′＝f′(x)＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，故f′(1)＝4，则切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得y＝4x－3.【答案】y＝4x－3【小结】曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考点3导数运算的应用(1)已知函数f＝ex－lnx，则函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________．【解析】由题，x∈，又f′＝ex－，则切线的斜率k＝f′＝e－1，又点在曲线上，则f＝e，切点的坐标为.可得切线的方程为y－e＝，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×＝.【答案】(2)已知M，N分别是曲线y＝ex与直线y＝ex－1上的点，则线段MN的最小值为______________．【解析】设曲线y＝ex在某点处的切线为l，当切线l与直线y＝ex－1平行时，这两条平行直线间的距离就是所求的最小值．因为切线l与直线y＝ex－1平行，所以切线l的斜率为e.设切点为M(a，b)，又曲线y＝ex在点M(a，b)处的切线的斜率为y′|x＝a＝ea，所以ea＝e，得a＝1，所以切点M的坐标为(1，e)，故切线l的方程为y－e＝e(x－1)，即ex－y＝0.又直线y＝ex－1，即ex－y－1＝0，所以d＝＝，即线段...