高考数学总复习 第三章 导数及其应用 第17讲 导数与函数的极值、最值练习 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

第17讲导数与函数的极值、最值夯实基础【p41】【学习目标】会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值．【基础检测】1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．闭区间上的连续函数一定存在最值【解析】结合本题构造一个具体函数，理解函数的极值点与最值点是不相同的两个概念．如图所示，函数y＝f(x)在B、D处分别存在极值，其中B是极大值点，但不是最大值点，D是极小值点，但不是最小值点；C是最值点，但不是极值点．闭区间上的连续函数一定存在最值．【答案】D2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋【解析】A项，y′＝3x2≥0，在定义域上单调递增，没有极值；B项，y＝ln(－x)的定义域为(－∞，0)，显然不是奇函数；C项，设f(x)＝y＝xe－x，则f(－x)＝－xex≠－f(x)，不是奇函数；D项，设f(x)＝y＝x＋，则f(－x)＝－x－＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝1－，当x＝±时，y′＝0，原函数在区间(－∞，－)上递增，在区间(－，0)上递减，所以点(－，－2)是一个极大值点，同理，点(，2)是极小值点．故D项正确．【答案】D3．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，令x－＝0得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，1)上递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝.【答案】A4．已知x＝0是函数f(x)＝(x－2a)(x2＋a2x＋2a3)的极小值点，则实数a的取值范围是__________．【解析】因为f(x)＝x3＋(a2－2a)x2－4a4，所以令f′(x)＝3x2＋2(a2－2a)x＝3x＝0，可得函数f(x)＝x3＋(a2－2a)x2－4a4的两个极值点分别为x＝0，x＝－，由题意－＜0，即a2－2a>0，解之得a<0或a>2.【答案】a>2或a<0【知识要点】1．函数的极值与导数(1)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧__f′(x)＜0__，右侧__f′(x)＞0__，则点x＝a叫作函数y＝f(x)的__极小值点__，f(a)叫作函数y＝f(x)的__极小值__．(2)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近的其他点的函数值都大，f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧__f′(x)＞0__，右侧__f′(x)＜0__，则点x＝a叫作函数y＝f(x)的__极大值点__，f(a)叫作函数y＝f(x)的__极大值__．2．函数的最值与导数若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则y＝f(x)在闭区间[a，b]上必存在最大值和最小值，且f(x)max＝max{f(a)，f极大值(x)，f(b)}，f(x)min＝min{f(a)，f极小值(x)，f(b)}．典例剖析【p41】考点1利用导数研究函数的极值已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．【解析】f′(x)＝1－.①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．【小结】含参函数的极值的讨论步骤：(1)求函数的定义域；(2)求导函数；(3)以导函数的零点存在性进行讨论；(4)当导数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间的位置关系；(5)画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；(6)由上一步的草图，列出f′(x)，f(x)随x变化的情况表，并写出函数的单调区间；(7)综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，从而可得极值．考点2利用导数研究函数的最值已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对于任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．由f′(x)＝1－＝＞0，x∈[1，＋∞)．∴函数f(x)是增函数．∴当x＝1时，f(x)的最小值为.(2)对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即＞0对任...