第十一章坐标系与参数方程【p165】第73讲坐标系夯实基础【p165】【学习目标】1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．【基础检测】1．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()A.B.C.D.【解析】将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是：【答案】B2．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为()A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1【解析】由题得ρ(ρcosθ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcosθ＝1，∴x2＋y2＝0或x＝1.【答案】C3．圆ρ＝r与圆ρ＝2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.ρ(sinθ＋cosθ)＝rD.ρ(sinθ＋cosθ)＝－r【解析】圆ρ＝r的直角坐标方程为：x2＋y2＝r2，圆ρ＝2rsin(r＞0)的直角坐标方程为x2＋y2－rx－ry＝0，∴圆ρ＝r与圆ρ＝2rsin(r＞0)的公共弦所在直线的方程为x＋y＝r，即圆ρ＝r与圆ρ＝2rsin(r＞0)的公共弦所在直线的方程为ρ(sinθ＋cosθ)＝r.【答案】C4．若直线l的极坐标方程为ρcos＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．【解析】直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.【答案】3＋15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1、曲线C2的交点为A，B，则弦AB的长为________．【解析】由ρ2＝x2＋y2，tanθ＝，将曲线C1与C2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C1：x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9，故C1为圆心为(3，0)，半径为3的圆，C2：θ＝，即y＝x，表示过原点倾斜角为的直线，由解得或所以|AB|＝3.【答案】3【知识要点】1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：____的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任意一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边、射线OM为终边所成的角．那么，有序数对__(ρ，θ)__称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的__极径__，θ称为点M的__极角__．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．3．坐标之间的互化点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：____，__(x≠0)__．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π.4．直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：直线极坐标方程图形过极点，倾斜角为αθ＝__α__(ρ∈R)或θ＝__π＋α__(ρ∈R)(θ＝α和θ＝π＋α(ρ≥0))过点(a，0)，与极轴垂直__ρcos__θ__＝a过点，与极轴平行__ρsin__θ__＝a(0<θ<π)(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：__ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)__．5．半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：圆心极坐标方程图形(0，0)ρ＝__r__(0≤θ<2π)(r，0)ρ＝__2rcos__θ__ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)(r，π)ρ＝－2rcosθρ＝－2rsinθ(π≤θ<2π)(2)一...
