同步测试卷理科数学(五)【p293】(导数及其应用)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y＝xsinx＋的导数是()A．y′＝sinx＋xcosx＋B．y′＝sinx－xcosx＋C．y′＝sinx＋xcosx－D．y′＝sinx－xcosx－【解析】f′(x)＝(x)′sinx＋x(sinx)′＋′＝sinx＋xcosx＋x－＝sinx＋xcosx＋.【答案】A2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2【解析】f′＝3x2－12＝3，令f′＝0得x＝－2或x＝2，易得f在上单调递减，在上单调递增，故f的极小值点为2，即a＝2.【答案】D3．定积分dx等于()A.πa2B.πa2C．πa2D．2πa2【解析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，所以S＝(πa2)＝πa2.【答案】B4．直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝alnx＋b相切于点P(1，2)，则a＋b＝()A．1B．4C．3D．2【解析】由f(x)＝alnx＋b，得f′(x)＝，∴f′(1)＝a.再由直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝alnx＋b相切于点P(1，2)，得∴∴a＋b＝3.【答案】C5．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】由已知得>0，得>0，得(xf(x))′与x同号，令g(x)＝xf(x)．则可知g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g(0)＝0，又由xf(x)＋＝0，即g(x)＝－，显然y＝g(x)的图象与y＝－的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)
0，即偶函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，不等式x2f(x)－f(1)1.即实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数y2＝2x3－x2，已知x>0，为使利润最大，应生产________(千台)．【解析】由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0)．y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＞0)，当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0.∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．则当x＝6(千台)时，y有最大值为216(万元)．【答案】68．曲线y＝2与直线y＝－x＋3及x轴围成的图形的面积为________．【解析】由曲线y＝2与直线y＝－x＋3及x轴围成的图形的面积为2dx＋(－x＋3)dx＝x|＋|＝＋2＝.【答案】9．若函数f(x)＝x3－ax2＋3x－4a3在(－∞，－1)，(2，＋∞)上都是单调增函数，则实数a的取值集合是________．【解析】由f′(x)＝3x2－2ax＋3，(1)当Δ＝4a2－36≤0⇒－3≤a≤3时，f(x)在R上为增函数，满足条件；(2)当Δ＝4a2－36>0⇒a<－3或a>3时，由∴30)，对∀x∈(0，1]恒成立，则实数m的取值范围是__________________．【解析】不等式|mx3－lnx|≥1(m>0)，对∀x∈(0，1]恒成立，等价为mx3－lnx≥1或mx3－lnx≤－1，即m≥或m≤，记f(x)＝，g(x)＝，则f′(x)＝＝，由f′(x)＝＝0，解得lnx＝－，即x＝e－，由f(x)>0，解得0e－，此时函数单调递减，即当x＝e－时，函数f(x)取得极大值，同时也是最大值f(e－)＝＝＝e2，此时m≥e2；由g(x)＝， 当x＝1时，＝0，∴当m>0时，不等式m≤不恒成立，综上，m≥e2.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知函数f(x)＝ex－2x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(...
