考点规范练15导数的综合应用一、基础巩固1
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)0),e为自然对数的底数
(1)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x>0时,求证:f(x)≥a(1-1x);(3)若在区间(1,e)内,f(x)x-1>1恒成立,求实数a的取值范围
(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=1x-x+alnx
(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x20)在x=1处取极值,其中a,b为常数
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取极值-1-c,且不等式f(x)≥-2c2恒成立,求实数c的取值范围;(3)若a>0,且函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2,证明:x1+x2>2
设函数f(x)=x2+bx-alnx
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n
(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)0时,h'(x)=ax(x-2)e-x
当x∈(0,2)时,h'(x)0
所以h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增
故h(2)=1-4ae2是h(x)在区间[0,+∞)内的最小值
①若h(2)>0,则a0时,ex>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0
故h(x)在区间(2,4a)内有一个零点
因此h(x)在区间(0,+∞)内有两个零点
综上,f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点时,a=e24
