0;当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.6分(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,8分所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.10分(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.12分【评分细则】①正确写出恰有2个不合格产品的概率f(p)的表达式,给2分;②对f(p)进行正确求导,给2分;③确定f(p)的最大值点,给2分;④建立X与Y的关系,给2分;⑤正确求出X的期望,给2分;⑥根据运算结果作出正确决策,给2分.【名师点评】1.核心素养:本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、导数的应用、二项分布、决策问题等,考查数据处理能力、运算求解能力,考查或然与必然思想,考查的核心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析.2.解题技巧:破解此类题的关键:一是认真读题,读懂题意;二是会利用导数求最值;三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值;四是会利用期望值,解决决策型问题.例2(2019·课标Ⅰ,21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【标准答案】——规范答题步步得分(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)·(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为X-...
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