[练案59]第二课时最值、范围、证明问题A组基础巩固一、单选题1．(2019·北京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，离心率e∈[，2]，则两条渐近线的夹角θ的取值范围是(B)A．[，]B．[，]C．[，]D．[，π][解析]由≤e≤2，得≤≤2，≤≤2，∴1≤≤，故两条渐近线的夹角θ的取值范围为[，]．2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(D)A．5B．＋C．7＋D．6[解析]设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝①，因为＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.3．(2019·深圳模拟)M是抛物线y2＝x上的一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称圆⊙C上的一点，则|MN|的最小值是(A)A．－1B．－1C.－1D．－1[解析]如图所示，设(－1,4)关于x－y＋1＝0的对称点是P(x0，y0)，则解得故⊙C的方程是(x－3)2＋y2＝1.设M(x，y)，则|MP|2＝(x－3)2＋y2＝x2－5x＋9＝(x－)2＋，∴|MP|的最小值为，∴|MN|的最小值为－1.4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(C)A．2B．C．4D．2[解析] ＝＋＝≥，即1≥，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选C.5．(2020·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为(B)A．B．6C．8D．12[解析]设P(x，y)，则OP·FP＝x2＋y2＋x＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，OP·FP取得最大值6，故选B.二、多选题6．(2020·皖西南期末改编)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|＝8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左右焦点，则C的离心率的值可能是(BCD)A．B．C．D．[解析]由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝8|PF2|知|PF2|＝，∴a－c≤≤a＋c，∴e＝≥，即e∈[，1)，故选BCD.7．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是(AC)A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为±D．△AOB的面积为4[解析]不妨设A在第一象限，如图作BH⊥AC于H，记|BF|＝a，则|AH|＝2a，|AB|＝4a，∴∠HAB＝60°，∴kAB＝.(同理当A在第四象限时kAB＝－)，C正确；又AB：y＝(x－1)，由得A(3,2)，B(，－)，∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝，D错；又CF·DF＝(2，－2)·(2，)＝0，∴CF⊥DF，即∠CFD＝90°，A正确；又M(，)，∴CM·DM＝(，－)·(，)＝≠0，即CM与DM不垂直，B错．故选AC.三、填空题8．(2020·甘肃诊断)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是__[10，＋∞)__.[解析]由题意可知以O为圆心，为半径的圆与直线有公共点，即5≤，∴p≥10.9．(2019·河南安阳)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为__4__.[解析]因为椭圆＋＝1的两焦点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，离心率为，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝，|PF2|≥，所以＝＝|PF2|＋＋4a＝|PF2|＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．10．(2019·福建模拟)已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞).[解析]以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，双曲线方程为－＝1(0
