第三章导数及其应用第3讲导数的综合应用习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是()A.3B.2C.1D.0解析设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1个.答案C2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是()A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析 2x(x－a)＜1，∴a＞x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞).答案D3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A.3B.4C.6D.5解析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小.故选A.答案A4.(2016·滨州模拟)若0＜x1＜x2＜1，则()A.ex2－ex1＞lnx2－lnx1B.ex2－ex1＜lnx2－lnx1C.x2ex1＞x1ex2D.x2ex1＜x1ex2解析令f(x)＝，则f′(x)＝＝.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，1)上单调递减， 0＜x1＜x2＜1，∴f(x2)＜f(x1)，即＜，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.答案C5.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1)解析a＝0时，不符合题意.a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f＞0，即a×－3×＋1＞0，化简得a2＞4，则a＜－2.答案C二、填空题6.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案－2或27.(2016·东营模拟)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________.解析当x∈(0，1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0，1]，g′(x)＝＝－.由g′(x)＝0得x＝，g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg′(x)＋0－g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞).答案[4，＋∞)8.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.解析 f(x)是奇函数，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，∴f(x)在(0，2)上的最大值为－1.当x∈(0，2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a＞，∴0＜＜2.当x＜时，f′(x)＞0，f(x)在上单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，解得a＝1.答案1三、解答题9.(2015·福建卷改编)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝kx(k∈R).(1)证明：当x＞0时，f(x)＜x；(2)证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)＞g(x).证明(1)令F(x)＝f(x)－x＝ln(1＋x)－x，x∈(0，＋∞)，则有F′(x)＝－1＝.当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递减，故当x＞0时，F(x)＜F(0)＝0，即当x＞0时，f(x)＜x.(2)令G(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－kx，x∈(0，＋∞)，则有G′(x)＝－k＝.当k≤0时，G′(x)＞0，故G(x)在(0，＋∞)上单调递增，G(x)＞G(0)＝0，故任意正实数x0均满足题意.当0＜k＜1时，令G′(x)＝0，得x＝＝－1＞0，取x0＝－1，对任意x∈(0，x0)，有G′(x)＞0，从而G(x)在(0，x0)上单调递增，所以G(x)＞G(0)＝0，即f(x)＞g(x).综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意x∈(0，x0)，恒有f(x)＞g(x).10.(2016·济宁一模)已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值.解(1)因为f...
