第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝()A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一 S△ABC＝|AB||AC|sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1，∴A＝90°，∴C＝60°，故选C.法二由正弦定理，得＝，即＝，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C.答案C2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A. A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝，故选B.答案B3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A.B.1C.D.2解析 a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsinA＝，故选C.答案C4.(2016·东北三省三校联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B.所以“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充分必要条件.答案C5.(2016·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为()A.B.C.2D.2解析由S△ABC＝bcsinA＝，得bc＝3，①又由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6.②由①②解得b＝.答案A二、填空题6.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.解析因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案17.(2015·福建卷)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________.解析S＝AB·AC·sinA，∴sinA＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.答案78.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理，得＝，因此AM＝100m.在Rt△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝100×＝150(m).答案150三、解答题9.(2016·武汉质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0，2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积.解(1)由a2－b2－c2＋bc＝0，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝，由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝.(2)设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AM2＝x2＋－2x··＝()2，解得x＝2，故S△ABC＝×2×2×＝2.10.(2015·四川卷)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根.(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝，求p的值.解(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2，或p≥，由根与系数的关系，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，从而tan(A＋B)＝＝－＝－，所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°.(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，解得B＝45°，或B＝135°(舍去)，于是A＝180°－B－C＝75°，则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋，所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC等于()A.5B.C.2D.1解析 S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，...
