课后作业(二十五)平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1．(2013·佛山模拟)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)3．(2013·济南模拟)若a＝(1，2)，b＝(－3，0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝()A．－B.C．2D．－24．(2013·安庆模拟)△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D.5．(2013·湛江模拟)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC等于()A．(－2，7)B．(－6，21)C．(2，－7)D．(6，－21)6．(2013·合肥模拟)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的是()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．(2013·台州模拟)已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)，为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f4，则f4＝________．8．(2012·德州一模)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，定义a⊗b＝mn－pq，下列等式中()①a⊗a＝0；②a⊗b＝b⊗a；③(a＋b)⊗a＝a⊗a＋b⊗a；④(a⊗b)2＋(a·b)2＝(m2＋q2)(n2＋p2)一定成立的是________．(填上所有正确等式的序号)9．(2013·南京模拟)已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________．三、解答题10．设坐标平面上有三点A，B，C，i，j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A，B，C三点共线．11．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP＝OA＋tAB(t∈R)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．图4－2－312．(2013·广东六校模拟)如图4－2－3，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．解析及答案一、选择题1．【解析】 a＋b＝(0，1＋x2)，∴a＋b平行于y轴．【答案】C2．【解析】4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8，18)，设向量c＝(x，y)，依题意，得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.【答案】D3．【解析】 a＝(1，2)，b＝(－3，0)，∴2a＋b＝(－1，4)，a－mb＝(1＋3m，2)，又 (2a＋b)∥(a－mb)，∴－1×2－4(1＋3m)＝0，∴m＝－.【答案】A4．【解析】由p∥q知(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∴C＝.【答案】B5．【解析】AC＝2AQ＝2(PQ－PA)＝2(－3，2)＝(－6，4)，BC＝3PC＝3(PA＋AC)＝3(－2，7)＝(－6，21)．【答案】B6．【解析】若a＝(4，2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，∴a＝(4，2)或a＝(－4，－2)．因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．【答案】C二、填空题7．【解析】由题意知f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－f1－f2－f3＝(2，1)＋(3，－2)＋(－4，3)＝(1，2)．【答案】(1，2)8．【解析】由a⊗b的定义可知，①a⊗a＝mn－mn＝0，故①正确，②a⊗b＝mn－pq，b⊗a＝pq－mn，故②错误，③a＋b＝(m＋p，n＋q)，所以(a＋b)⊗a＝(m＋p)(n＋q)－mn，而a⊗a＋b⊗a＝pq－mn，故③错，④(a⊗b)2＝(mn－pq)2，(a·b)2＝(mp＋nq)2，所以(a⊗b)2＋(a·b)2＝(m2＋q2)(n2＋p2)，故④正确．【答案】①④9．【解析】由题意知OA＝(－3，0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.【答案】1三、解答题10．【解】法一假设满足条件的m存在，由A，B，C三点共线，得AB∥BC...
