第24课利用导数研究函数的单调性1．设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且，则当时，有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，∴在上是减函数，得，∴．2．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，∴在上为增函数，∵，∴由，得．3．已知.（1）求的单调增区间；（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围．【解析】（1）∵.（1）若，恒成立，即在上递增.若,,∴,.∴的单调递增区间为.（2）∵在上递增，∴在上恒成立.∴，即在上恒成立.∴，又∵，∴.综上：当时，函数在区间上单调递增．4.（2012东城二模）已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．【解析】（1）由，，，∴，∴，∴所求切线方程为，即．（2）由已知，得．∵函数在上是增函数，∴恒成立，即不等式恒成立．整理得．令的变化情况如下表：+极小值由此得，即的取值范围是．5．（2012石景山一模）已知函数．（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．【解析】（1），……1分由已知，解得．……3分（2）函数的定义域为．①当时,，的单调递增区间为；②当时．当变化时，的变化情况如下：-+极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是．（3）由，得，由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立．即在上恒成立．令，，∴，∴在为减函数．,∴．6．（2012东莞一模）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性．【解析】（1）当时，，∴，，∴所求的切线方程为．（2）∵，∴，令当时，∴时，，此时，函数单调递减，时，，此时，函数单调递增，当时，由，解得，①若，函数在上单调递减，②若，在单调递减，在上单调递增．③当时，由于，时，，此时，函数单调递减；时，，此时函数，函数单调递增．综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增．
