圆锥曲线过定点问题一、小题自测1.无论k取任何实数，直线（14k）x（23k）y（214k）0必经过一个定点，则这个定点的坐标为222.已知直线l:2axbyab0；圆C:xy2x10，则直线I与圆C的位置关系为.二、几个常见结论：满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。1、过定点模型：代B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中，分别为MA,MB的倾斜角，则有下面的结论：uuruuir①、MAMB为定值直线AB恒过定点；②、kMAkMB为定值直线AB恒过定点；③、（0）直线AB恒过定点.2、抛物线中的过定点模型：代B是抛物线y2px（p0）上的两动点，其中，分别为OA,OB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论:2ac直线AB恒过定点（一^2,0）.2ab三、方法归纳：★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直OAOBkOAkOB3、椭圆中的过定点模型:1-2x2代B是椭圆一2a直线AB恒过定点（2p,0）.2y21（ab0）上异于右顶点b2D的两动点，其中分别DADBk°Ak°B1线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。四、例题分析：2例1：过椭圆1y21的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于MN两点.求证：直线MN过定点,4并求出该定点坐标.★证明：解法一：设M（为，yjN（X2,y2），直线MN:ykxkxmm.y2x4y21(12224k)x8kmx4m400且x-i8km14k2，x，x24m244k2,由AM(k21)X|X2(km2)(X1X2)m20,(k2化简得：5m2216km12k0,Qk5(m)2k解得：-6或-（舍），直线MN:yk（xk5kAN得x-i21)也414k216-12k-)，过定点5土1x22(km2)-18kmm44k2(6,0).5解法二：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）令j14k此时128k24k26，所以直线5MN过定点当k1,kCM4k14k228k2614k255k4(1k2)4k4k22k284k25kkCMkCNM,N,C三点共线，即:直线MN过定点（解法三：设直线AM:yk(x2)(k0），则直线AM:y4(16，°）.；(x2)yk(x2)x24222(14k)x16kx216k40Q2XM16k二4kXM28k2^4?，YM4k14k2所以点(14k2，14k24k4k14k24k228k22k2824M14k2k2），同理：点2k284k)N(4k2'45k4（1k2），直线MN：，4k14k25k4(1k2)(x28k2)14k2)8k214k216(1k2)5(14k2)6(14k2)5(14k2)6，所以直线MN过定点56(-,0).5在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线I不经过P,点且与C相交于A、B两点,证明：I过定点.★分析：出现kpAkpBk,kpAkpBk(AB过定点。★小结：此类问题的解题步骤：第一步：设直线AB的方程为ykxm,联立曲线方程得根与系数的关系，用0求出参数的取值范围;第二步：由AP与BP的关系，得到一次函数kf(m)或者mf(k);第三步：将kf(m)或者mf(k)代入ykxm，得yk(xx定)y定-Fy.例2:2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)2已知椭圆C:笃a2詁1ab0，四点P111,P20,1，P3心，P「，身中恰有三点★解:(1)根据椭圆对称性，必过P3、P4，又P4横坐标为1,椭圆必不过P，所以过P2，P3，P4三点将P20,1,P31，虫2代入椭圆方程得(2)①当斜率不存在时,3,解得玄1b21,Bm②当斜率存在时，设yA1mI:ykx1，得此时联立ykxb2X4y24，整理得4k28kbx4b2kp2Akp2By11Xiy21X2X2kx!X2X!kx2bX1X21此时???直线I的方程为ykx2kb2k64k,1，当存在k使得x2时，y24'J“椭圆C的方程为：7y21.I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.BX2,y20,X18kb2X28k8kbk，X18kb28kb14k24b2414k28kb10成立.1，所以I过定点2,1若直线P2A与直线巳B的斜率的和为1,P是曲线上一动点,A,B是曲线另外两点)，可以得到直线例3:已知左焦点为F（-1,。）的椭圆过点E（1，孚）?过点P（1，1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD设M,N分别为线段AB,CD的中点.（1）求椭圆的标准方程；...
