第四章平面向量第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算[考情展望]1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值．一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a＋b＝a＋(b＋c)．(2)结合律：(a＋b)＋c＝平行四边形b＋a法则减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”．三、平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.巧用系数判共线OA＝λOB＋μOC(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．1．化简OP－QP＋MS＋QM的结果为()A.OMB.SMC.PSD.OS【答案】D2．下列给出的命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量【答案】D3．设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()A.AD＝BCB.AD＝2BCC.AD＝－BCD.AD＝－2BC【答案】B4．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM【答案】D5．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【答案】C6．(2013·四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝.【答案】2考向一[071]平面向量的有关概念给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D规律方法11.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键：(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性；(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．对点训练给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C考向二[072]平面向量的线性运算(1)在△ABC中，若D是AB边上一点，且AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A.B.C．－D．－(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()A.AO＝ODB.AO＝2ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD【答案】(1)A(2)A规律方法21.解答本例(1)的关键是利用向量的加法与减法把CD用CA、CB表示出来．解答本例(2)的关键是OB＋OC＝2OD.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．对点训练(1)(2014·课标全...
