选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式[考情展望]1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考向一绝对值三角不等式的应用设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．【解】(1) ∈A，∉A，∴＜a，且≥a，因此＜a≤，又a∈N*，从而a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时等号成立．故f(x)的最小值为3.规律方法11.本题常见的错误：(1)不能由∉A，得a≤；(2)第(2)问中，不能利用绝对值三角不等式进行放缩，这是失分的主要原因．2．利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．对点训练对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．【解】 x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.考向二含绝对值不等式的解法(2014·课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．(1)【证明】f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．【解】(1)由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得30时，－≤x≤，因此－＝－2且＝1，∴a＝2.(2)法一由(1)知f(x)＝|2x＋1|，记h(x)＝f(x)－2f＝|2x＋1|－2|x＋1|，则h(x)＝所以|h(x)|≤1，因此k≥1.法二记h(x)＝f(x)－2f，则|h(x)|＝＝||2x＋1|－|2x＋2||≤|(2x＋1)－(2x＋2)|＝1.当且仅当(2x＋1)(2x＋2)≥0时，即x≥－或x≤－1时等号成立，则k≥1.规律方法31.第(2)问求解的关键是转化...
