第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算1.下面有5个命题：①单位向量的模都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a、b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；⑤对任意非零向量a、b必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确的是________．(填序号)答案：①④⑤解析：①单位向量的模均为1，故①正确；②共线包括同向和反向，故②不正确；③向量不能比较大小，③不正确；④根据向量的表示，④正确；⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确．2.如图所示，在△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE＝________(用a、b表示)．答案：－a＋b解析：BE＝BA＋AE＝BA＋AD＝BA＋(AB＋BD)＝BA＋AB＋·BD＝－AB＋×BC＝－AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC＝－a＋b.3.设a、b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为__________．答案：－1解析： BD＝BC＋CD＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.4.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．答案：直角三角形解析：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．5.(2014·宿迁质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．答案：解析：设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.如图所示，故C、M、D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为.6.如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．答案：解析：设|BP|＝y，|PN|＝x，则AP＝AN＋NP＝AC－BN①，AP＝AB＋BP＝AB＋BN②，①×y＋②×x得AP＝AB＋AC，令＝，得y＝x，代入得m＝.7.△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝________．(用a、b表示)答案：a－b解析：如图， a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝.又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝.∴AD＝AB＝(a－b)＝a－b.8.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________．答案：3解析：由已知条件得MB＋MC＝－MA.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心.AM＝AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3.9.在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，AC＝b，试用a、b表示AG.解：AG＝AB＋BG＝AB＋λBE＝AB＋λ(BA＋AC)＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)a＋b.又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋m(CA＋AB)＝(1－m)AC＋AB＝a＋(1－m)b，∴解得λ＝m＝，∴AG＝a＋b.10.如图所示，已知△ABC的面积为14cm2，D、E分别是AB、BC上的点，且＝＝2，求△APC的面积．解：设AB＝a，BC＝b，则AE＝a＋b，DC＝a＋b.因为点A、P、E和点D、P、C均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP＝λAE＝λa＋λb，DP＝μDC＝μa＋μb.因为AP＝AD＋DP＝a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8(cm2)，S△PBC＝14×＝2(cm2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．11.如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若AM＝xAB，AN＝yAC，试问：＋是否为定值？请证明你的结论．解：＋为定值，证明如下：设AB＝a，AC＝b，则AM＝xa，AN＝yb，AG＝AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，所以MG＝AG－AM＝(a＋b)－xa＝a＋b，MN＝AN－AM＝yb－xa＝－xa＋yb.因为MG与MN共线，所以存在实数λ，使MG＝λMN，所以a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线，所以消去λ，得＋＝4为定值．第2课时平面向量的基本定理及坐标表示1.(2014·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝__________．答案：解析：因为向量a∥b，所以sin2θ－cos2θ＝0.又cosθ≠0，所以2sinθ＝cosθ，故tanθ＝.2.设a、b是不共线的两个...
