第19讲导数与不等式问题1．(2019·启东中学检测)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx
(1)证明：g(x)≥1
(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－
证明：(1)g′(x)＝，当01时，f(x)>0；(2)讨论g(x)的单调性；(3)若不等式f(x)1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)>0，从而当x>1时，f(x)>0
(2)g′(x)＝2ax－＝(x>0)，当a≤0时，g′(x)0时，由g′(x)＝0得x＝
当x∈时，g′(x)0，g(x)单调递增．综上，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增．(3)由(1)知，当x>1时，f(x)>0
当a≤0，x>1时，g(x)＝a(x2－1)－lnx>0，因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝g(x)－f(x)>0，即f(x)0时，f(x)>q(x)恒成立．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝exlnx＋，所以f(1)＝0，f′(1)＝e，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)．(2)证明：当x>0时，f(x)>q(x)恒成立，等价于当x>0时，xlnx>－恒成立．设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)0
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－
设函数h(x)＝－，则h′(x)＝，所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0时，g(x)>h(x)，所以当x>0时，f(x)>q(x)恒成立．4．已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：f(
