第4讲平面向量A级——高考保分练1．(2019·南通调研)已知向量a＝(1，λ)，b＝(λ，2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.解析：由题知a＋b＝(1＋λ，λ＋2)，a－b＝(1－λ，λ－2)．因为(a＋b)∥(a－b)，所以(1＋λ)(λ－2)＝(λ＋2)(1－λ)，解得λ＝±.答案：±2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC＝OA＋OB，则＝________.解析：因为OC＝OA＋OB，所以AC＝OC－OA＝－OA＋OB＝(OB－OA)，所以AC＝AB，所以＝.答案：3．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．解析： 向量a＝(3,4)，b＝(1，－1)，∴向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝－.答案：－4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝3e1＋2e2，b＝2e1－ke2(k∈R)，且a·(a－b)＝8，则实数k的值为________．解析：a＝3e1＋2e2，a－b＝e1＋(2＋k)e2，则a·(a－b)＝(3e1＋2e2)·[e1＋(2＋k)e2]＝3e＋[2＋3(2＋k)]e1·e2＋2(2＋k)e＝3＋[2＋3(2＋k)]cos＋2(2＋k)＝8，解得k＝－.答案：－5．在△ABC中，O为△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60°，则AO·AC＝________.解析：设BC边中点为D，则AO＝AD，AD＝(AB＋AC)，∴AO·AC＝(AB＋AC)·AC＝×(3×2×cos60°＋32)＝4.答案：46．在▱ABCD中，点E是边AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则＝________.解析： AD＝2AE，EF＝mAB＋nAD，∴AF＝AE＋EF＝mAB＋(2n＋1)AE， F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2.答案：－27．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是线段BD上的任意一点，则AP·AC＝________.解析：如图所示，由条件知△ABC为正三角形，AC⊥BP，所以AP·AC＝(AB＋BP)·AC＝AB·AC＋BP·AC＝AB·AC＝×cos60°＝2×2×＝2.答案：28．已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，|AB|＝6，|AC|＝6，AE＝ED，则AE·EB＝________.解析：如图，以A为坐标原点，以AC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)．因为AE＝ED，所以AE＝AD＝(3，3)＝(1，)，E(1，)，EB＝(－1，5)，所以AE·EB＝(1，)·(－1,5)＝14.答案：149．(2019·海门中学期中)已知点O是△ABC内部一点，且满足OA＋OB＋OC＝0，又AB·AC＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．解析：因为OA＋OB＋OC＝0，所以O为△ABC的重心，所以△OBC的面积是△ABC面积的，因为AB·AC＝2，所以|AB|·|AC|cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以|AB|·|AC|＝4，所以S△ABC＝|AB|·|AC|sin∠BAC＝3，所以△OBC的面积为1.答案：110．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB·AC＝9，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP＝x·＋y·，则xy的最大值为________．解析：因为∠C＝90°，所以AB·AC＝AC2＝9，所以|AC|＝3，即AC＝3.因为S△ABC＝×AC×BC＝6，所以BC＝4.又P为线段AB上的点，且CP＝CA＋CB，故＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．答案：311．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－.又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝，因此θ＝或θ＝.12．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.向量m＝，n＝(sinB，－cosA)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)若|n|＝，求cosC的值．解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，即asinB－bcosA＝0.由正弦定理得，＝，所以sinAsinB－sinBcosA＝0.在△ABC中，B∈(0，π)，sinB＞0，所以sinA＝cosA.若cosA＝0，则sinA＝0，矛盾．若cosA≠0，则tanA＝＝.在△ABC中，A∈(0，π)，所以A＝.(2)由(1)知，A＝，所以n＝.因为|n|＝，所以＝.解得sinB＝(舍去负值)．因为sinB＝＜，所以0＜B＜或＜B＜π.在△ABC中，又A＝，故0＜B＜，所以cosB＞0.因为sin2B＋cos2B＝1，所以cosB＝.从而cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.B级——难点突破练1．(2019·泰州期末)已知点P为平行四边形ABCD所在平...
