专题限时集训(四)不等式(建议用时：45分钟)1．(2016·南京二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．[－4,2][当x≤0时，由x＋1≥－1得x≥－4，即－4≤x≤0；当x＞0时，由－(x－1)2≥－1得0≤x≤2，即0＜x≤2，综上可知，不等式的解集为[－4,2]．]2．二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．4[由题意知即则＋＝＋＝＋＋a＋c≥2＋2＝4，当且仅当a＝c＝1时等号成立．]3．设x，y满足条件则点(x，y)构成的平面区域面积等于________．2[画出不等式组表示的区域，可见是一个矩形，其面积为×＝2.]4．若变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最大值为________．【导学号：19592012】4[依题意画出可行域如图所示，由图可知，z＝x－3y在点(1，－1)处取得最大值4.]5．若f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上递增，又f(2)＝0，则＞0的解集是________．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上递增，则在(－∞，0)上递增．又f(－x)＝－f(x)，所以＞0等价于＞0.根据题设作出f(x)的大致图象如图所示：由图可知，＞0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]6．若实数x，y满足则z＝的取值范围是________．[不等式组表示的区域如图，则z＝的几何意义是可行域内的点与点(－1，－3)构成的直线的斜率问题，当取得点A(0,4)时，则z＝的值为7，当取得点B(3,0)时，则z＝的取值为，所以答案为.]7．(2016·南通调研一)已知函数f(x)＝2ax2＋3b(a，b∈R)．若对于任意x∈[－1,1]，都有|f(x)|≤1成立，则ab的最大值是________．[法一：由|f(x)|≤1，得|2a＋3b|≤1，所以6ab≤|2a·3b|＝|2a＋3b－3b|·|3b|≤2≤(2a＋3b)2≤.当且仅当2a＝3b＝±时，取得等号，所以ab的最大值为.法二：由题设得⇒ab＝(f(1)－f(0))f(0)≤2≤.]8．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sinπx(00，x>0得a>0.由不等式(ax－20)lg≤0，得或所以＝2a，a＝.法二：图象法．y＝ax－20与y＝－lg的图象不能同时在x轴上方或下方，所以它们与x轴的交点必然重合，所以＝2a，a＝.]12．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是________．[－2，－1)∪(3,4][由题意得，原不等式为(x－1)(x－a)＜0.当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3，则3＜a≤4；当a＜1时，解得a＜x＜1.此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a＜－1，故a∈[－2，－1)∪(3,4]．]13．已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．4[因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．]14．已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．10[∵xy＝x＋2y≥2，∴()2－2≥0，∴≥2或≤0(舍去)，∴xy≥8.若xy≥m－2恒成立，只需(xy)min≥m－2成立即可．即m－2≤8，即m≤10，∴m的最大值为10.]15．设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为________．16[由已知解出y＝－2，那么xy＝x＝－2x＝x＋9＋，x>1时，x－1>0，x＋9＋＝(x－1)＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，故所求最小值为16.]16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈(－1,0)，x2∈(0,1)，则的取值范围是________．(1,3)[由条件可得f′(x)＝x2＋ax＋b＝0的一个实根在(－1,0)上，一个实根在(0,1)上，所以对应的可行域如图中△ABC区域(不含边界)，目标函数即为＝1＋2×，其中的几何意义是可行域上的点(a，b)与点(－2，－1)的连线的斜率，由图可知∈(0,1)，故∈(1,3)．]
