第六章ARIMAX模型VIP免费

第六章ARIMAX模型一、ARIMAX模型的概念有时考虑其它序列对一个时间序列的影响，如太阳黑子对某地区降雨量的影响，石油价格对股价的影响。带有输入序列的一般ARIMA模型也称为ARIMAX模型。Box和刁锦寰提出ARIMAX模型。例子1)9.11事件对道琼斯指数的影响2）广告对销售量的效应3）美国月批发物价指数对零售价指数的影响4）1960年前后时间X1、冬季X2、夏季X3对臭氧数据Yt５）固有股减少X1、道琼斯指数X2、石油价格X3对上证指数数学模型设xt(i)，yt是时间序列，（i=1,…,k）yt=∑j=0∞vj(1)Bjxt(1)+∑j=0∞vj(2)Bjxt(2)+⋯+∑j=0∞vj(k)Bjxt(k)+θ(B)ϕ(B)at其中，θ(B)=1−θ1B−⋯−θqBq,ϕ(B)=1−ϕ1B−⋯−ϕpBp称为传递函数模型，xt(j)称为输入因子（干预因子），yt称为输出因子。Xt(1)Xt(2)at…ytxt(k).注：为减少参数个数，通常考虑简化为：yt−μ=θ1(B)Bb1ϕ1(B)xt(1)+⋯+θk(B)Bbkϕk(B)xt(k)+θ(B)ϕ(B)at其中θi(B)=θ0(i)−θ1(i)B−⋯−θqi(i)Bqi,ϕi(B)=ϕ0(i)−ϕ1(i)B−⋯−ϕpi(i)Bpi（i=1,……,k）=称上述模型为ARIMAX模型，又称为带有干预序列的ARIMA模型或动态回归模型。这个模型把相应序列表示为随机波动的过去值和其它序列（称为输入序列）的过去值的结合。响应序列也称为相依序列或输出序列，输入序列也称为独立序列或预测因子序列。二、两个独立滑动平均过程之和wt它是阶数分别为q1,q2的两个独立平均过程之和即wt=θ1(B)at+θ2(B)btat,bt均是均值为零的白噪声且相互独立记q=max{q1,q2}可得wt的自相关函数γj当j>q时为零故wt可表示成q阶的单一滑动平均过程wt=θ3(B)utut为零均值白噪声（证明可参考Hamiton《时间序列分析》）三、附加噪声对一般模型的影响考虑ARIMA（p,d,q)φ(B)∇dzt=θ(B)at设zt本身不可观测，只能观测到Zt=zt+btbt表示有关的附加的噪声，则对Zt有φ(B)∇dZt=θ(B)at+φ(B)∇dbt若对bt有bt满足ARMA（p1,0,q1)即φ1(B)bt=θ1(B)αtαta与t独立白噪声则有φ1(B)φ(B)∇dZt=φ1(B)θ(B)at+φ(B)θ1(B)∇dαtP=p+p1,Q=max{p1+q,p+q1+d}φ2(B)∇dzt=θ2(B)utARIMA(P,d,Q)四、带有回归项和时间序列误差的模型Wt=β1Xt1+β2Xt2+...+βkXtk+Nt(t=1,2,...,n)Xt1...Xtk为解释变量，而误差Nt是一个ARMA（p,q），φ(B)Nt=ϑ(B)at生成。该式可以写为：W=Xβ+V,V=cov(N)。在传统模型中我们有V=σ2I，β的最小二乘估计为^β=(X'X)−1X'W，并具有性质cov(^β)=σ2(X'X)−1。但在自相关误差的情形下，这种性质不再成立此时最小二乘估计的协方差阵为cov(^β)=σ2(X'X)−1X'VX(X'X)−1。因此一般的样本性质和统计推断的方=1法，如关于估计的通常标准差公式，t-统计量及置信区间等就不再有效。例：wt=β1xt+Nt,Nt=(1−θB)at，Nt的子协方差为γ0=(1+θ2)σa2,γ1=−θσa2。β1的最小二乘估计为^β1=∑t=1nxtwt/∑t=1nxt2，它的方差为：var(^β1)=X'VX(∑t=1nxt2)2=γ0∑t=1nxt2+2γ1∑t=1n−1xtxt−1(∑t=1nxt2)2¿γ0(∑t=1nxt2)2[1+2ρ1r1(x)]如果模型中误差Nt为不相关的，我们会取ρ1=0，而这会引起明显的错误推断。当对时间序列数据拟合回归模型时，总是需要考虑误差项存在自相关的可能性的。通常对于误差Nt识别一个恰当模型的可行方法是首先得出最小二乘估计^β，然后再得到相应的回归模型的残差^Nt=Wt−^β1Xt1+^β2Xt2+...+^βkXtk这个残差序列可以用通常的时间序列方法来考察，这样可以对误差项建立一个实验性的模型。^β=(X'X)−1X'W是渐近最优的，由此计算的自相关、偏相关等也是渐近最优的。而一般最优的线性估计，也称为广义最小二乘估计为^βG=(X'VX)−1X'V−1W在实际中，根据噪声项Nt确定具体的ARMA模型，可以确定N协方差V的具体形式，并可找到一个下三角阵P'，使得P'VP=σa2I,V=PP'/σa2令W¿=P'W,X¿=P'X得到广义最小二乘估计为^βG=(X*/X¿)−1X*/W¿因为Nt的时间序列模型中的参数φi,θi是未知的，所以必须在计算^βG和极大似然估计以及模型中的参数φi,θi之间迭代。（BOXJENKINSp415-420）三、附加噪声的传递函数模型干扰或噪声Nt和Xt的水平独立，且添加到有关X的影响上，它们可以写成干预序列Yt=δ(B)ω(B)BbXt+Nt如果噪声模型可以用ARIMA(...