第18讲高考中的圆锥曲线题型一|圆锥曲线中的最值(范围)问题已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．[解](1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.4分(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.6分当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.8分又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.10分设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0，14分所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.16分【名师点评】与圆锥曲线有关的最值的两种解法1．数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．2．构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用均值不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．(2016·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a,0)，B，且AB＝BC.(1)求椭圆M的离心率；(2)设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P(－3,0)，直线l过点，求直线l的方程；②若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．[解](1)设C(x0，y0)，则AB＝，BC＝.2分因为AB＝BC，所以＝＝，得4分代入椭圆方程得a2＝b2.因为a2－b2＝c2，所以e＝＝.6分(2)①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，设Q(x0，y0)，则＋＝1.①因为点P(－3,0)，所以PQ中点为，因为直线l过点，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，所以·＝－1，10分化简得x＝9－y－y0.②将②代入①化简得y－y0＝0，解得y0＝0(舍)或y0＝.将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为，所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，所以直线l的方程为y＝－x－或y＝－x－.12分②设PQ：y＝kx＋m，则直线l的方程为：y＝－x－1，所以xD＝－k.将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN＝＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，代入直线l的方程得9k2＝4m－5.②又因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k2)(9m2－45)＞0，化得m2－9k2－5＜0.14分将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈∪.综上所述，点D横坐标的取值范围为∪.16分题型二|圆锥曲线中的定点问题如图18－1所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点．(1)求点P的轨迹曲线E的方程；(2)设点P(x0，y0)是曲线E上任意一点，写出曲线E在点P(x0，y0)处的切线l的方程；(不要求证明)(3)直线m过切点P(x0，y0)与直线l垂直，点C关于直线m的对称点为D，证明：直线PD恒过一定点，并求定点的坐标．图18－1[解](1) 点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点，∴PA＝PM，PA＋PC＝PM＋PC＝2>AC＝2，∴动点N的轨迹是以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆.3分椭圆的长轴长为2a＝2，焦距2c＝2.∴a＝，c＝1，b2＝1.∴曲线E的方程为＋y2＝1.5分(2)曲线E在点P(x0，y0)处的切线l的方程是＋y0y＝1.7分(3)证明：直线m的方程为x0(y－y0)＝2y0(x－x0)，即2y0x－x0y－x0y0＝0.设点C关于直线m的对称点的坐标为D(m，n)，则解得10分∴直线PD的斜率为k＝＝，12分从而直线PD的方程为y－y0＝(x－x0)，14分即x＝y＋1，从而直线PD恒过定点A(1,0).16分【名师点评】1.动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．2．动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2016·苏北四市期末)如图18－2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C...
