计算题47分强化练(一)1．(15分)小亮观赏滑雪比赛，看到运动员先后从坡顶水平跃出后落到斜坡上．斜坡长80m，如图1所示，某运动员的落地点B与坡顶A的距离L＝75m，斜面倾角为37°，忽略运动员所受空气阻力．重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.图1(1)求运动员在空中的飞行时间；(2)小亮认为，无论运动员以多大速度从A点水平跃出，他们落到斜坡时的速度方向都相同．你是否同意这一观点？请通过计算说明理由；(3)假设运动员在落到倾斜雪道上时，靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜坡的分速度而不弹起．运动员与斜坡和水平地面的动摩擦因数均为μ＝0.4，经过C处运动员速率不变，求运动员在水平面上滑行的最远距离．【解析】(1)由h＝Lsin37°，h＝gt2，解得：t＝3s.(2)设在斜坡上落地点到坡顶长为L，斜坡与水平面夹角为α，则运动员运动过程中的竖直方向位移h＝Lsinα，水平方向位移x＝Lcosα，运动时间由h＝gt2得t＝由此得运动员落到斜坡时，速度的水平方向分量vx＝＝，速度的竖直方向分量vy＝gt＝，实际速度与水平方向夹角为tanβ＝＝2tanα，由此可说明，速度方向与初速度大小无关，只跟斜坡与水平面的夹角α有关．(3)运动员落到斜坡时，水平速度vx＝20m/s与斜坡碰撞后速度v＝vxcos37°＋vysin37°＝34m/s斜坡上落点到坡底距离x1＝5m，竖直高度为h2＝3m滑至停下过程，由动能定理：mgh2－μmgx1cosα－μmgx2＝0－mv2解得：x2＝148m.【答案】(1)3s(2)见解析(3)148m2．(16分)如图2所示，光滑的金属导轨间距为L，导轨平面与水平面成α角，导轨下端接有阻值为R的电阻．质量为m的金属细杆ab与绝缘轻质弹簧相连静止在导轨上，弹簧劲度系数为k，上端固定，弹簧与导轨平面平行，整个装置处在垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B.现给杆一沿导轨向下的初速度v0，杆向下运动至速度为零后，再沿导轨平面向上运动达最大速度v1，然后减速为零，再沿导轨平面向下运动，一直往复运动到静止(金属细杆的电阻为r，导轨电阻忽略不计)．试求：【导学号：25702112】图2(1)细杆获得初速度的瞬间，通过R的电流大小；(2)当杆速度为v1时，离最初静止位置的距离L1；(3)杆由v0开始运动直到最后静止，电阻R上产生的焦耳热Q.【解析】(1)由E＝BLv0；I0＝解得：I0＝.(2)设杆最初静止不动时弹簧伸长x0，kx0＝mgsinα当杆的速度为v1时杆受力平衡，弹簧伸长x1，kx1＝mgsinα＋BI1L此时I1＝，L1＝x1－x0得L1＝.(3)杆最后静止时，杆在初始位置，由能量守恒可得Q＝mv所以：QR＝.【答案】(1)(2)(3)3．(16分)在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，如图3甲所示．第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E1.坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E2＝E1，匀强磁场方向垂直纸面．处在第三象限的发射装置(图中未画出)竖直向上射出一个比荷＝102C/kg的带正电的粒子(可视为质点)，该粒子以v0＝4m/s的速度从－x上的A点进入第二象限，并以v1＝8m/s速度从＋y上的C点沿水平方向进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，g取10m/s2.试求：图3(1)带电粒子运动到C点的纵坐标值h及电场强度E1；(2)＋x轴上有一点D，OD＝OC，若带电粒子在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其恰能沿x轴正方向通过D点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0；(3)要使带电粒子通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足的关系．【解析】(1)t＝＝0.4s，h＝t＝0.8max＝＝2g，qE1＝2mg，则E1＝0.2N/C.(2)qE2＝mg，所以带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动，设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T，则qv1B0＝m可得R＝使粒子从C点运动到D点，则有：h＝(2n)R＝(2n)，B0＝0.2n(T)(n＝1,2,3，…)T＝，＝，T0＝＝＝(s)(n＝1,2,3，…)．(3)当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：由图可知θ＝，T0≤T＝，则B0T0≤(kg/C)．【答案】(1)0.8m0.2N/C(2)0.2n(T)(n＝1,2,3，…)(s)(n＝1,2,3，…)(3)B0T0≤(kg/C)
