计算题押题练(四)1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；(2)上述过程中，杆cd上产生的热量。解析：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv，回路中的感应电流I＝杆所受的安培力F＝BIL根据牛顿第二定律有mgsinθ－＝ma当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度am＝gsinθ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度vm＝，方向沿导轨平面向下。(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsinθ＝Q总＋mvm2又Q杆＝Q总所以Q杆＝mgxsinθ－。答案：(1)gsinθ(2)mgxsinθ－2.如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC的距离为1m，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.4m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k＝100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐，一个质量为1kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度为h＝0.6m处静止释放小球，小球进入管口C端时，它对上管壁有FN＝5N的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能为Ep＝0.5J。取重力加速度g＝10m/s2。求：(1)小球在C处受到的向心力大小；(2)BC间的动摩擦因数；(3)若改变高度h且BC段光滑，试通过计算探究小球压缩弹簧过程中的最大动能Ekm与高度h的关系，并在坐标系中粗略做出Ekmh的图像，并标出纵轴的截距。解析：(1)小球进入管口C端时，它与圆管上管壁有大小为FN＝5N的相互作用力，故小球受到的向心力为F向＝FN＋mg＝5N＋10N＝15N。(2)在C点，由F向＝m，代入数据得vC＝m/s小球从A点运动到C点过程，由动能定理得mgh－μmgs＝mvC2，解得μ＝0.3。(3)在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零。设此时小球离D端的距离为x0，则有kx0＝mg，解得x0＝＝0.1m由机械能守恒定律有mg(r＋x0＋h)＝Ekm＋Ep得Ekm＝mg(r＋x0＋h)－Ep，代入数据得Ekm＝10h＋4.5，图像如图所示。答案：(1)15N(2)0.3(3)见解析3．如图甲所示，在0≤x≤d的区域内有垂直纸面的磁场，在x<0的区域内有沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质子从点P处以速度v0沿x轴正方向运动，t＝0时，恰从坐标原点O进入匀强磁场。磁场按图乙所示规律变化，以垂直于纸面向外为正方向。已知质子的质量为m，电荷量为e，重力不计。(1)求质子刚进入磁场时的速度大小和方向；(2)若质子在0～时间内从y轴飞出磁场，求磁感应强度B的最小值；(3)若质子从点M(d,0)处离开磁场，且离开磁场时的速度方向与进入磁场时相同，求磁感应强度B0的大小及磁场变化周期T。解析：(1)质子在电场中作类平抛运动，时间为t，刚进磁场时速度方向与x正半轴的夹角为α，有x＝v0t＝d，y＝t＝，tanα＝，又v＝，解得v＝v0，α＝30°。(2)质子在磁场中运动轨迹与磁场右边界相切时半径最大，B最小由几何关系知R1＋R1cos60°＝d，解得R1＝d根据牛顿第二定律，有evB＝m解得B＝。(3)分析可知，要想满足题目要求，则质子在磁场变化的半个周期内的偏转角为60°，在此过程中质子沿x轴方向上的位移恰好等于它在磁场中做圆周的半径R。欲使质子从M点离开磁场，且速度符合要求，必有：n×2R＝d质子做圆周运动的轨道半径：R＝＝解得B0＝(n＝1,2,3，…)设质子在磁场做圆周运动的周期为T0，则有T0＝＝，＝解得T＝(n＝1,2,3，…)。答案：(1)v0沿x轴正方向斜向上与x轴夹角为30°(2)(3)(n＝1,2,3，…)(n＝1,2,3，…)
