考点过关检测（三十三）1．已知函数f(x)＝kx－lnx－1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)求证：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．解：(1) f(x)＝kx－lnx－1，∴f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)；当0ln，∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…＋ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．2．(2020届高三·武汉调研)已知a∈R，函数f(x)＝x－aex＋1有两个零点x1，x2(x1＜x2)．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：ex1＋ex2＞2
解：(1)f′(x)＝1－aex，①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增，不合题意，舍去．②当a＞0时，令f′(x)＞0，解得x＜－lna；令f′(x)＜0，解得x＞－lna
故f(x)在(－∞，－lna)上单调递增，在(－lna，＋∞)上单调递减．由函数y＝f(x)有两个零点x1，x2(x1＜x2)，知其必要条件为a＞0且f(－lna)＝－lna＞0，即0＜a＜1
此时，－1＜－lna＜2－2lna，且f(－1)＝－1－＋1＝－＜0
令F(a)＝f(2－2lna)＝2－2lna－＋1＝3－2lna－(0＜a＜1)，则F′(a)＝－＋＝＞0，所以F(a)在(0,1)上单调递增，所以F(a)＜F(1)＝3－e2＜0，即f(2－2lna)＜0
故a的取值范围是(0,1)．(2)证明：法一：令f(x)＝0⇒a＝
令g(x)＝，则g′(x)＝－xe－x，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．由(1)知0＜a＜1，故有－1＜x1＜0＜x2
令h(x)＝g(－x)－g(x)(－1＜x＜0)，则h(x)＝(1－x)ex－(1＋x)e－x(－1＜x＜0)，h′(x)＝－xex＋xe－x＝x(e－x－ex)＜0，所以h(x)在(－1,0)上单调
