考点过关检测（三十五）1．(2019·三湘名校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2＋＝1，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心极坐标为(3，π),半径为1的圆．(1)求曲线C1的参数方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设M，N分别为曲线C1，C2上的动点，求|MN|的取值范围．解：(1)曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的直角坐标方程为(x＋3)2＋y2＝1.(2)设M(cosφ，2sinφ)，C2(－3,0)，则|MC2|2＝(cosφ＋3)2＋4sin2φ＝－3cos2φ＋6cosφ＋13＝－3(cosφ－1)2＋16，∵－1≤cosφ≤1，∴4≤|MC2|2≤16，即2≤|MC2|≤4，∴1≤|MN|≤5.2．(2020届高三·福建五校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，求∠POQ.解：(1)由得直线l的普通方程为x＋y＝1＋，又所以直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1＋.由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(2)曲线C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)且半径为1的圆．由(1)得直线l的普通方程为x＋y－(1＋)＝0，则圆心到直线l的距离d＝，所以|PQ|＝2＝1，所以△PCQ是等边三角形，所以∠PCQ＝，又O是圆C上的点，所以∠POQ＝＝.3．(2019·昆明模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，A为当t＝1时曲线C1上的点；B为当t＝－1时曲线C1上的点．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.(1)求A，B的极坐标；(2)设M是曲线C2上的动点，求|MA|2＋|MB|2的最大值．解：(1)当t＝1时即点A的直角坐标为(－1，)．当t＝－1时即点B的直角坐标为(1，－)．∴点A的极坐标为，点B的极坐标为.(2)由ρ＝，得ρ2(4＋5sin2θ)＝36，∴曲线C2的直角坐标方程为＋＝1.设曲线C2上的动点M的坐标为(3cosα，2sinα)，则|MA|2＋|MB|2＝10cos2α＋16≤26，当且仅当cosα＝±1时等号成立，∴|MA|2＋|MB|2的最大值为26.4．(2019·河北六校联考)在直角坐标系xOy中，点P(0，－1)，曲线C1：(t为参数)，其中0≤α<π，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＋ρcos2θ＝8sinθ.(1)若α＝，求C1与C2公共点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|＝时，求sinα的值．解：(1)若α＝，则曲线C1的普通方程为y＝x－1，曲线C2的直角坐标方程为x2＝4y，由解得所以C1与C2公共点的直角坐标为(2,1)．(2)将C1：代入x2＝4y得，(cos2α)t2－4tsinα＋4＝0，由Δ＝16sin2α－16cos2α>0，得sinα>.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝.由|PM|＝＝＝，得20sin2α＋9sinα－20＝0，解得sinα＝.5．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．解：(1)由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得，x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ.由曲线C2的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4，得x2＋y2－4y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)联立得A(2sinα，α)，∴|OA|＝2sinα，联立得B(4sinα，α)，∴|OB|＝4sinα，∴|AB|＝|OB|－|OA|＝2sinα，∵0＜α＜π，∴当α＝时，|AB|有最大值，最大值为2.6．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，解得a＝8；当a＜－4时，d的最大值为.由题设得＝，解得a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.
