考点过关检测（二十六）1．(2019·亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与过点M(a,0)(a>0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.(1)确定p与a的数量关系；(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．解：(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x，得y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0.∵a>0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝|y1－y2|＝2p·.|AM|·|MB|＝AM·MB＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·－a2＝4p2(1＋t2)．∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p·＝λ·4p2(1＋t2)，∴λ＝＝.∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．故λ的取值范围为(1,2]．2．(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求PA·F2C的取值范围．解：(1)设椭圆M的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得所以椭圆M的标准方程是＋＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m.将y＝kx＋m，代入＋＝1得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为B，C，F2共线，所以k＝k，即＝，整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以2k·－(m－k)·－2m＝0，解得m＝－4k.所以直线AB：y＝k(x－4)，与x轴交于定点P(4,0)．因为y＝3－x，所以PA·F2C＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝2－.因为－2
