第1页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共13页当前文档修改密码：8362839第七讲数学危机在科学史上，对于特别重大的知识更新和观念突破，一般称为科学革命（ScienceRevolution）。从“革命”的字面意义我们也不难看出，这种知识的变革具有颠覆性，是在否定原有知识体系的基础上重新建立知识的大厦。例如哥白尼革命以日心说挑战传统的地心说，取缔了人们赋予地球的神圣地位；牛顿革命建立了天体力学体系，统一了天上和人间的机械力学现象；达尔文革命通过自然选择和生存斗争学说，取消了人类与其它生物的本质区别；爱因斯坦建立的狭义和广义相对性原理，否定了长期以来关于绝对时间和绝对空间的基本假定。在这一点上，数学和自然科学不同。从知识体系上来讲，数学理论总是在原有的基础上进行扩充，新增的部分与原来的体系总是融为一体。或者说，数学理论的重大发展，一般都不是对原有理论的根本否定，而是对原有理论体系的某种推广。所以，一般来说，并没有“数学革命”这种说法。但没有“数学革命”，并不等于数学在其发展过程中就是一帆风顺的。因为数学总是在一定的基础上发展起来的。随着人们处理问题的深度和广度发生变化，原来的基础假定往往会遇到根本性的困难。这时候就产生了所谓的“数学危机”。另一方面，数学危机和科学革命也有相同之处，二者都体现了人类直觉与理性的消长。我们知道，直觉是一种富有创造性的思维方式，人类一直相信自己的直觉；但是历史发展表明，直觉经常是和理性相对立的。科学革命的进程和数学危机的解决过程，大体上都是理性战胜直觉的一个过程。科学中的理性主义正是通过对直觉的怀疑与否定才得以确立其第2页共13页第1页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共13页至高无上的地位。从这一点上来看，数学危机和科学革命又是一致的。现在公认的数学危机共有3次，即无理数的发现、微积分的基础问题和集合论悖论。本讲只介绍前两次数学危机。1.第一次数学危机1.1无理数的发现我们已经知道，古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras,ca.560-ca.480.BC）学派从毕达哥拉斯开始，一直延续到公元前四世纪中叶。这个学派是一种宗教式的秘密结社，致力于哲学和数学的研究。相传，“哲学”和“数学”这两个词就是它创造的，原意分别指“智力爱好”和“可学到的知识”。在这个学派兴盛的时期，学派内部的各种发现往往秘而不宣，并且大家习惯于把各这些发现都归结在领袖毕达哥拉斯的名下。毕达哥拉斯学派对数学最重要的贡献之一是证明了毕达哥拉斯定理（在中国被称为勾股定理），即：直角三角形斜边长度的平方等于二直角边长度的平方和。据说当时的人们为了庆祝发现这个定理，曾经宰了100头牛来拜祭天神。这一定理我们在小学的时候就已经知道，因此大家可能觉得当年毕达哥拉斯学派没有必要那么大动干戈，但这也可能是因为大家对于这个定理的重要性并不是特别关注。之所以说它特别重要，是因为在平面几何学中，直角三角形的地位很类似于素数在数系中的地位。我们知道，复数系、实数系、有理数系和整数系都可以归结为自然数系，而根据素因子唯一分解定理，自然数又可以最终归结为素数。可见素数在“数”中的核心地位。同理，任意规则的平面多边形都可以被分割成多个三角形，而每个三角形又可以被分割成两个直角三角形。而任意不规则的多边形或者说曲多边形，我们总是可以通过把它看作边数无限多的规则多边形来处理。从这一点可以看出，关于直角三角形的毕达哥拉斯定理是多么重要。所附的这张图片载于欧几里得（Euclid,ca.325-ca.270.BC）的巨著《几何原本》，相传毕达哥拉斯学派曾经使用过这个图形来证明毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”（Everythingisnumber），这个学派的一位晚期成员菲洛劳斯（Philolaus,ca.390.BC）曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。”在当时，数学分为算术、音乐、几何和天文四个部分，而毕达哥拉斯学派认为它们都可以归结为数的理论（他们所指的数是整数），因此，他们认为，一切事物...
