数学竞赛中代数式最值问题的解题策略VIP免费

第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共5页数学竞赛中代数式最值问题的解题策略邮编：422200作者：湖南隆回一中邹启文E-mail:Zouqiwen@126.com电话：13187172668数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。如不等式法（包含非负数性质|a|≥0，a2≥0，√a≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。例1：已知设x1、x2、x3、……xn均为连续正整数，且x1＜x2＜x3＜……＜xn，x1+x2+，x3+……+xn=2005，则xn的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有x1+x2+x3+……+xn=2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定x3的数值或范围。然后再求xn的最大与最小数值。解：由题意可设x1+x2+x3+……+xn=1+2+3+……+n=2005，由高斯求和公式可得n(n+1)2=2005，解得n≈63，但当n=63时n(n+1)2=63(63+1)2=63×32=2016当n=62时n(n+1)2=62(62+1)2=31×63=1953， 1953≤2005≤2016，且n是整数，∴n≠62或63，我们又观察到平均值1n(x1+x2+x3+⋯⋯+xn)=1n׿¿2005=5×401，且5和401都是质数，显然n不可能是401，∴n只可能是5，故有x1+x2+x3+……+x5第2页共5页第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共5页=2005又 平均数15（x1+x2+x3+……+x5）=15×2005=401，且x1、x2、x3、……xn均为连续正整数和x1＜x2＜x3＜……＜x5，即x3=401∴当x1=399，x5=403时，恰有399+400+401+402+403=2005，于是xn的最大值是403，最小值399。【注】：由于本题中关键的是平均数与中位数关系的合理运用，x1、x2、x3、……xn是按从小到大的顺序排列的，在否定了x1、x2、x3、……xn是从1起的整数后，我们也可观察到x1+x2+x3+x4+x5=2005的平均数与中位数相等，所以也可以用枚举法确定x5=403与x1=399的大小，例2、若x、y、z是实数，满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：这是一道已知条件中含有二次项的求其中某未知量最大值的典型题，因为本题已知x、y、z是实数，那么由实数的意义可联想到x、y、z是可开方的，因此应该想到x、y、z在某一未知数为主元的一元二次方程的判别式△≥0，于是应想办法将两个等式转化为一元二次方程。解： x+y+z=5，xy+yz+zx=3则x=5-z-y，∴(5−z−y)y+zy+z(5−z−y)=3，即y2+(z−5)y+(z2−5z+3)=0又 y、z是实数，∴△=(z−5)2−4×1×(z2−5z+3)=−3z2+10z+13=(z+1)(−3z+13)≥0∴{z≥−1¿¿¿¿，即得-1≤z≤133，于是z的最大值为133【注】：本题中虽然只要求同学们求z的最大值，但实际上z还存在最小值，同时其它未知量也可用同样的方法求出它们的最值。例3、若(|x+1|+|x−2|)(|y−2|+|y+1|)(|z−3|+|z+1|)=36，则z+2y+3z的最小值是＿＿，最大值是＿＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：本题是含有绝对值符号的最值题，要求z+2y+3z的最大值，一般来说应有x、y、z的其它条件存在，但题中并没有反映出来，所以我们必需用函数的有关知识在这个等式中寻找x、y、z的条件。解： |x+1|+|x−2|=¿{−2x+1(x≤−1)¿{3(−1≤x≤2)¿¿¿¿，同理有第3页共5页第2页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共5页|y+1|+|y−2|=¿{−2y+1(y≤−1)¿{3(−1≤y≤2)¿¿¿¿，同样有|z−3|+|z+1|=¿{−2z+2(z≤−1)¿{4(−1≤z≤3)¿¿¿¿，又 (|x+1|+|x−2|),(|y−2|+|y+...