时间序列分析方法 第06章 谱分析VIP免费

第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止，t时刻变量Yt的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：Yt=μ+∑j=0∞ψjεt−j我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t和τ上的变量Yt和Yτ的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(timedomain)上分析时间序列{Yt}−∞+∞的性质。在本章中，我们讨论如何利用型如cos(ωt)和sin(ωt)的周期函数的加权组合来描述时间序列Yt数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：Yt=μ+∫0πα(ω)cos(ωt)dω+∫0πδ(ω)sin(ωt)dω上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列{Yt}−∞+∞性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。§6.1母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1母体谱及性质假设{Yt}−∞+∞是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j个自协方差为：γj=cov(Yt,Yt−j)=E[(Yt−μ)(Yt−j−μ)]假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：gY(z)=∑j=−∞+∞γjzj这里z表示复变量。将上述函数除以2π，并将复数z表示成为指数虚数形式z=exp(−iω)，i=√−1，则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱：sY(ω)=12πgY(e−iω)=12π∑j=−∞+∞γje−iωj注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差γj的序列{γj}−∞+∞，原则上都可以计算sY(ω)的数值。利用DeMoivre定理，我们可以将e−iωj表示成为：e−iωj=cos(ωj)−isin(ωj)因此，谱函数可以等价地表示成为：sY(ω)=12π∑j=−∞+∞γj[cos(ωj)−isin(ωj)]注意到对于协方差平稳过程而言，有：γj=γ−j，因此上述谱函数化简为：第2页共9页第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页sY(ω)=12πγ0[cos(0)−isin(0)]+12π{∑j=1+∞γj[cos(ωj)+cos(−ωj)−isin(ωj)−isin(−ωj)]}利用三角函数的奇偶性，可以得到：sY(ω)=12π{γ0+2∑j=1+∞γjcos(ωj)}假设自协方差序列{γj}−∞+∞是绝对可加的，则可以证明上述谱函数sY(ω)存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。由于对任意2πk，有：sY(ω+2πk)=sY(ω)，因此sY(ω)是周期函数，如果我们知道了[0,π]内的所有sY(ω)的值，我们可以获得任意ω时的sY(ω)值。§6.2不同过程下母体谱的计算假设随机过程{Yt}−∞+∞服从MA(∞)过程：Yt=μ+ψ(L)εt这里：ψ(L)=∑j=0∞ψjLj，∑j=0∞|ψj|<∞，E(εtεs)=¿{σ2,s=t¿¿¿¿根据前面关于MA(∞)过程自协方差生成函数的推导：gY(z)=σ2ψ(z)ψ(z−1)因此得到MA(∞)过程的母体谱为：sY(ω)=12πσ2ψ(e−iω)ψ(eiω)例如，对白噪声过程而言，ψ(z)=1，这时它的母体谱函数是常数：sY(ω)=σ22π下面我们考虑MA(1)过程，Yt=εt+θεt−1此时：ψ(z)=1+θz，则母体谱为：sY(ω)=12πσ2(1+θe−iω)(1+θeiω)¿12πσ2(1+θe−iω+θeiω+θ2)可以化简成为：显然，当θ>0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递减函数；当θ<0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递增函数。对AR(1)过程而言，有：Yt=c+φYt−1+εt这时只要|φ|<1，则有：ψ(z)=1/(1−φz)，因此谱函数为：第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页sY(ω)=12πσ2(1−φe−iω)(1−φeiω)=12πσ2(1−φe−iω−φeiω+φ2)¿12πσ2[1+φ2−2φcos(ω)]该谱函数的性质为：当φ>0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递增函数；当φ<0时，谱函数sY(ω)在[0,π]内是ω的单调递减函数。一般地，对ARMA(p,q)过程而言：Yt=c+φ1Yt−1+φ2Yt−2+⋯+φpYt−p+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+⋯+θqεt−q则母体谱函数为：sY(ω)...