微分方程的基础知识及解析解VIP专享VIP免费

微分方程的基础知识及解析解微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(xyy.由导数的几何意义可知函数)(xyy满足xdxdy2（1）同时还满足以下条件：1x时，2y（2）把（1）式两端积分，得xdxy2即Cxy2（3）其中C是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得1C，由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程：12xy（4）（2）列车在水平直线路上以20sm/的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0sm.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(tss满足：4.022dtsd（5）此外，还满足条件：0t时，20,0dtdsvs（6）(5)式两端积分一次得：14.0Ctdtdsv（7）再积分一次得2122.0CtCts（8）其中21,CC都是任意常数。把条件“0t时20v”和“0t时0s”分别代入（７）式和（８）式，得0,2021CC把21,CC的值代入（7）及（8）式得,204.0tv（9）tts202.02（10）在（9）式中令0v，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020st。再把5t代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程).(5005020502.02ms上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程xyyyyy2sin5'12''10'''44是四阶微分方程。一般地，n阶微分方程的形式是()(,,',...,)0,nFxyyy（11）其中F是个2n变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(ny是必须出现的，而)1(,...,',,nyyyx等变量则可以不出现。例如n阶微分方程01)(ny中，除)(ny外，其他变量都没有出现。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为)(xyy，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是0xx时，0yy，或写成00|yyxx其中0x，0y都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0xx时，0yy，'1yy或写成00|yyxx，0'|1xxyy其中0x，0y和1y都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程),('yxfy满足初始条件00|yyxx的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作.|),,('00yyyxfyxx（13）二阶微分方程的初值问题是000''(,,'),|,'|1xxxxyfxyyyyyy3、例题例1验证：函数ktCktCxsincos21（14）是微分方程0222xkdtxd（15）的解。解求出所给函数（14）的导数,cossin21ktkCktkCdtdx)sincos(sincos212221222ktCktCkktCkktCkdtxd把22dtxd及x的表达式代入方程（15）得)sincos(212ktCktCk+)sincos(212ktCktCk0函数（14...