v1.0可编辑可修改1数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：123⋯⋯+n=(1)2nn，1+3+5+⋯⋯+(2n-1)=2n2222123⋯⋯+n=(1)(21)6nnn，3333123⋯⋯+n=2(1)2nn等.例1求2222222212345699100．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502．变式练习：已知3log1log23x，求............32nxxxx的前n项和.解：1－n21二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.v1.0可编辑可修改2例2求222222222222123101102938101的和．解：设222222222222123101102938101S则222222222222109811012938101S．两式相加，得2111105SS，．三、裂项相消法常见的拆项公式有：1()nnk111()knnk，1nkn1()nknk，1(21)(21)nn111()22121nn，等.例3已知222112(1)(21)6nnnn，求22222222235721()11212312nnnN的和．解：22221216112(1)(1)(21)6nnnannnnnn，11161223(1)111116122311611ln.1nSnnnnnn小结：如果数列{}na的通项公式很容易表示成另一个数列{}nb的相邻两项的差，即1nnnabb，则有11nnSbb.这种方法就称为裂项相消求和法.v1.0可编辑可修改3)1(2)1(ann变式练习：求数列311，421，531，⋯，)2(1nn，⋯的前n项和S.解： )2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211(21nn=42122143nn四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如{}nnab的数列，其中{}na为等差数列，{}nb为等比数列，均可用此法.例4求2335(21)nxxxnx的和．解：当1x时，21122(1)(21)1(1)1nnnxxxnxSxxx；当1x时，2nSn．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}nb的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,⋯,nan,⋯(a为常数)的前n项和。解：（1）若a=0,则Sn=0（2）若a=1,则Sn=1+2+3+⋯+n=(1)2nn（3）若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+⋯+nan，∴aSn=a2+2a3+3a4+⋯+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+⋯+an-nan+1=∴Sn=当a=0时，此式也成立。∴Sn=五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例5求数列11111246248162nn，，，，，的前n项和nS．111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann)1(1)1(121aanaaaannv1.0可编辑可修改423411111111(2462)(1)222222nnnSnnn．变式练习：求数列11111,2,3,4,392781的前n项和解：211223nnn数列求和基础训练1.等比数列{}na的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa＝413n2.设1357(1)(21)nnSn，则nS＝(1)nn.3.1111447(32)(31)nn31nn.4.1111...243546(1)(3)nn???=1111122323nn5.数列2211,(12),(122),,(1222),n的通项公式na12n，前n项和nS221nn6.;,212,,25,23,2132nn的前n项和为2332nnnS数列求和提高训练1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则20083211111aaaa(A)A．20094016B．20092008C．10042007D．20082007解： am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，∴利用叠加法得到：2)1(nnan，∴)111(2)1(21nnnnan，v1.0可编辑可修改5∴)200911(2)20091200813121211(211112008321aaaa20094016．2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{nba}前10项的和等于(B)A．100B．85C．70D．55解： an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1∴nba＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3则数列{nba}也是等差数列，并且前10项和等于：85102134答案：B.3．设m=1×2+2×3+3×4+⋯+(n-1)·n，则m等于(A)A.3)1(2nn21(n+4)21(n+5)21(n+7)3．解：因为an=n2-n.，则依据分组集合即得.答案;A.4．若Sn=1-2+3-4+⋯+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于(A)解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn答案：A5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,⋯,则{cn}的前10项和为(A)解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则2212dqdq∴q2-2q=0, q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.答案：Av1.0可编辑可修改66.若数列{an}的通项公式是an...
