2008年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题班级姓名得分一、选择题（每小题只有一个正确选项）1．化简3√√5−12−(√5−12)2得（）(A)√5−12(B)√5+12(C)√5(D)3√52．已知集合，则下列正确的是（）(A)(B)(C)(D)3．当时，，则下列大小关系正确的是（）(A)(B)(C)(D)4．设圆的方程为，直线的方程为()，圆被直线截得的弦长等于()(A)(B)(C)(D)与有关5．函数是()(A)周期为的偶函数(B)周期为的奇函数(C)周期为的偶函数(D)周期为的奇函数6．设函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）(A)(B)(C)(D)7．已知为三条不同的直线，且平面，平面，．(1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；(2)若不垂直于，则与一定不垂直；(3)若∥，则必有∥；(4)若，，则必有．其中正确的命题的个数是()(A)(B)(C)(D)8．函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是()(A)且(B)且(C)且(D)二、填空题9．已知x=12−√5，则x3+3x2−5x+1=．10．已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若6，设的最大值为s，最小值为t，则s+t的值为．11．已知全集{(x,y)|x∈R,y∈R}，集合{(x,y)|x+y=2}，集合{(x,y)|y−1x−1=−1}，则集合M∩(CUN)=．12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有个学生．一三．代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为．14．设5cm¿4cm×3cm长方体的一个表面展开图的周长为pcm，则p的最小值是．一五．定义在上的函数满足：，则16．已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为.17．已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是.一八．关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是.三．解答题（解答应有必要文字说明和演算步骤）19．圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值．20．已知△中，∠90°，1，⊥平面，60°∠，E、F分别是、上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面⊥平面；（Ⅱ）当λ为何值时，平面⊥平面？21．设函数的定义域是，且对任意都有．若对常数，，判断在上的单调性；FEDBAC22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：[1]对任意的，总有；[2]；[3]若，，且，则有成立，并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知为“友谊函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.参考答案一、选择题：二、填空题9．0．∵x=−2−√5得(x+2)2=5∴x2+4x−1=0而x3+3x2−5x+1=(x−1)⋅(x2+4x−1)=010．6√10+611．{(1,1)}12．设甲、已、丙三个组的人数分别为x,y,z．则有17x+20y+21z=233，故233=17x+20y+21z>17x+17y+17z∴x+y+z<23317=131217，同理233<21x+21y+21z∴x+y+z>23321=11221，∵x,y,z均为整数，则x+y+z=12或x+y+z=13，检验的x+y+z=12方可．一三．数型结合得√20514．长方体的展开图的周长为8c+4b+2a，由排序或观察得：周长的最小值为8×3+4×4+2×5=50．一五．716．517.(-2,2)一八.三、解答题19．解：设，，，设圆的参数方程为，则，点是关于点的对称点，．，，当=1时，有最大值|；当时，有最小值．20．证明：（Ⅰ）∵⊥平面，∴⊥，∵⊥且∩，∴⊥平面.又∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),∴不论λ为何值，恒有∥，∴⊥平面，⊂平面,∴不论λ为何值恒有平面⊥平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥.1∵，∠90°，∠60°，∴BD=√2,AB=√2tan60∘=√6,∴AC=√AB2+BC2=√7,由2·得AE=6√7,∴λ=AEAC=67,故当λ=67时，平面⊥平面.21．解：(1)对任意，由，存在使得且，又，，在上是增函数．22.解：（1）取得，又由，得（2）显然在上满足[1]；[2].若，，且，则有故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数.(3)由[3]知任给其中，且有，不妨设则必有：所以：所以：.依题意必有,下面用反证法证明：假设，则有或(1)若，则，这与矛盾；(2)若，则，这与矛盾；故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.
