燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么，上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：1423:::SSSSBDDC【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有14::SSBDDC；三角形ABE与三角形EBD同高，12::SSEDEA；三角形ACE与三角形CED同高，43::SSEDEA，所以1423::SSSS；例题精讲燕尾定理综上可得，1423:::SSSSBDDC.【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，1ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，3ABFS△份，3AEFEFCSS△△份，如图所标所以551212DCEFABCSS△方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS△△，11212233ADEADCABCSSS△△△，所以11ABDADESBFFES△△，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS△△△△，而211323CDEABCSS△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．【巩固】如图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF，因为BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，所以1103ABEABCSS△△，1152ABDABCSS△△．根据燕尾定理，12ABFCBFSAESEC△△，1ABFACFSBDSCD△△,所以17.54ABFABCSS△△，157.57.5BFDS△，所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二)连接DE，由题目条件可得到1103ABEABCSS△△，11210223BDEBECABCSSS△△△，所以11ABEBDESAFFDS△△，1111112.5223232DEFDEAADCABCSSSS△△△△，而211032CDEABCSS△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC的面积是2200cm，E在AC上，点D在BC上，且:3:5AEEC,:2:3BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．【解析】连接CF，根据燕尾定理，2639ABFACFSBDSDC△△，36510ABFCBFSAESEC△△,设6ABFS△份，则9ACFS△份,10BCFS△份，5459358EFCS△份，310623CDFS△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm)88DCFES【巩固】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与CD相交于点O,则ABC△被分成的4部分面积各占ABC△面积的几分之几【解析】连接CO,设1AEOS△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS△份，所以四部分按从小到大各占ABC△面积的124.5139313.59,,,30306030103020【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC△中，12CPCB，13CQCA，BQ与AP相交于点X，若ABC△的面积为6，则ABX△的面积等于．【解析】方法一：连接PQ．由于12CPCB，13CQCA，所以23ABQABCSSVV，1126BPQBCQABCSSSVVV．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQBPQABCABCAXXPSSSSVVVV，所以4412262.455255ABXABPABCABCSSSSVVVV．方法二：连接CX设1CPXS△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)42.4ABXS△【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，2BDDC，2CEAE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?【解析】连接CF，设1AEFS△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEFS△,62217ABFS△,821BDFS△,242217FDCES【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且:2:3AEEC,:1:2BDDC，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于222cm，则三角形ABC的面积．【解析】连接CF,根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，23ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，2ABFS△份，4AFCS△份，241.623AEFS△份,342.423EFCS△份,如图所标,所以22.44.4EFDCS份,2349ABCS△份所以2224.4945(cm)ABCS△【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知2AC，2CD，3CB，AMBM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少【解析】连接BN．AB...
