-1-自主招生模拟训练（6）1.（2014华二）有一个矩形ABCD，BCDC2，FE、为AB边上，DFDE、将ADC三等分，则ABCDDEFSS.（63）2.（2014华二）甲手上有51~号牌，乙手上有11~6号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为。解：1572161515121611CCCCCC.3.（2014上中）学生若干人租游船若干只，如果每船做4人，就余下20人；如果每船做8人，那么就有一船不空也不满。则学生共有人？解：设租游船x只；由题意得xxx8204)1(8解得75x正整数解为6x；学生共有442064人。4.（2015复附）从100321、、、、中取两个不同的数，使两数之和大于100，则有种不同的取法。解：取一个100，则991中，任取一个数都能使两数之和大于100，共99种取法；取一个99，则982中，任取一个数都能使两数之和大于100，共97种取法；⋯⋯取一个51，则另一个数只能为49，共1种取法；∴共2500502991种。5.（2015建平自招）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，BEEC2，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为ABCS、ADFS、BEFS，且12ABCS，则ADFSBEFS。bbb2aaFDEBCAFDEBCA-2-解：连结FC，易知21ECBESSSSAFCABFCEFBEF1CDADSSSSBFCABFCDFADF∴aab2，1233ba解得：1a，3b，∴ADFS2BEFS。6.（2013年南洋模范自招）如图，ABCD为直角梯形，90C，且BCAB，若在边BC上存在一点M，使得△AMD为等边三角形，则ABCD的值为。HMABCDMABCD解：方法一：过D作ABDH于点H，易证：△ABM≌△DHA,设xCD，1BCAB,则xAHBM1,∴1)1(22xAD，222xDM∴2221)1(xx∴13x方法二：过D作ABDH于点H，易知BCDH为矩形。设xCD,yAB，zCM由勾股定理：222zxDM，222)(zyyAM，222)(xyyAD △ADM为等边三角形，∴AMDMAD∴zx，yx)13(，∴13ABCD-3-7.（2014年复旦附中）已知yxpxy2，p为奇质数，求满足条件的yx、)(yx的整数解。解： yxpxy2∴0224pypxxy∴2)2)(2(ppypx yx、为整数，且yx∴px2、py2为整数，且px2py2∴2212ppypx或1222pyppx∴2212ppypx或2122pyppx8.（2015建平自招）如图，已知直线PA交⊙O于BA、两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分PAE，过点C作PACD，垂足为D.（1）CD是⊙O的切线吗？说明理由。（2）若6DADC，⊙O的直径为10，求AB的长度。PGDCEBOAPDCEBOA解：（1）CD是⊙O的切线。理由如下：连结OC， OCOA，∴OACOCA AC平分PAE∴CADOAC∴CADOCA∴OCAD// PACD∴CDOC∴CD是⊙O的切线。（2）连结CE易知△DAC∽△CAE∴AEACACDA∴AEADAC2设aAD，则aCD6，222)6(aaAC∴aaa10)6(22-4-解得：2a或9a（6舍）∴4CD∴4OG 5OA∴3AG∴62AGAB.9.（2014华二）某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：单位（元）甲乙进价40002500售价43003000进货用了资金5.15万元，获得毛利1.2万元。（1）问该商场购进两种手机各多少台？（2）若现在进货资金不超过16万，且在（1）的基础上购进乙种手机增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？解：（1）设购进甲、乙两种手机各ba、台。则210050030015500025004000baba，解得20a，30b。（2）设甲种手机减少了x台，毛利为y，∴)230(500)20(300160000)230(2500)20(4000xxyxx∴210007005xyx∴当5x时，24500maxy。答：略。-5-10.（2015交附）如图，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形ABEF、BCLJ、CAHG，证明：222ABBCAC。（八年级第一学期第19章阅读材料二）NMGHIJEFABCGHIJEFABC证明：过点C作ABCN于点N，交AB于点M，连结AJ，CE。易证△CBE≌△JBA（SAS）∴ABJEBCSS ACBJ//，CNBE//∴BCIJBJCABJSSS21，BEFABEMBECSSS21∴BEFABCIJSS同理可得：AMNFACGHSS∴ABEFACGHBCIJSSS∴222ABBCAC。11.（2014交附）证明2不是有理数。（七年级第二学期第12章阅读材料）证明：假设2是一个有理数，那么可以得到ba2，其中ba、为整数，a与b互素，且0b，∴222ba，于是有222ba，则a是2的倍数，在设ma2，则222)2(bm，∴222mb，则b是2的倍数，可见a与b不是互素的，与前面所假设的a与b互素矛盾，因此2不是有理数。-6-【教师备用】1.帕普斯对勾股定理的“推广”：公元前300年，古希腊数学家帕普斯证明了勾股定理的一个有趣的变形，他将直角三角形三边上的正方形...
